Arppe opiskeli näyttämötaidetta Saksassa Dresdenissä 1877–1878 ja suoritti siellä myös ensiesiintymisensä näyttelijänä 1876. Vuosina 1879–1887 Arppe oli näyttelijänä Helsingin Ruotsalaisessa teatterissa, ja vuosina 1888–1890 hän johti omaa oopperaseuruettaan. Oman teatteriseurueen Arppe perusti 1890. Hän oli Svenska Teaternin toimitusjohtaja 1916–1919 ja taloudenhoitajana 1919–1925.
Arppe oli naimisissa vuodesta 1879 Leipzigista kotoisin olleen Anna Doris Elisabet Winkelmannin kanssa.
