Kempe opiskeli Cambridgen Trinity Collegessa muun muassa Arthur Cayleyn opettamana. Hän valmistui vuonna 1872 ja julkaisi samana vuonna ensimmäisen matemaattisen artikkelinsa, nimeltään A general method of solving equations of the nth degree by mechanical means. Matemaattisista ja musiikillisista taipumuksistaan huolimatta hän ryhtyi ammatiltaan lakimieheksi. Matematiikasta ja musiikista tuli hänen harrastuksiaan.[1]
Kempen matemaattiset tulokset käsittelivät aluksi pääasiassa mekaanisia nivelsysteemejä. Esimerkki yksinkertaisesta nivelsysteemistä on höyrykoneen luisti, joka muuttaa suoraviivaisen liikkeen pyöriväksi.[1]
Vuonna 1879 Kempe esitti neliväriongelmaan todistuksen, jota luultiin oikeaksi yhdentoista vuoden ajan, kunnes vuonna 1890 Percy Heawood osoitti, että todistuksessa oli aukko. Vaikka Kempen todistus oli virheellinen, se sisälsi kuitenkin merkittäviä ideoita, joiden avulla Heawood pystyi todistamaan heikomman tuloksen, viisivärilauseen, jonka mukaan viisi väriä riittää tasokartan värittämiseen. Kempen esittämiä merkittäviä todistusideoita olivat väistämättömyys (engl.unavoidability) ja redusoitavuus (engl.reducibility). Näitä käyttivät myös Kenneth Appel ja Wolfgang Haken, kun he lopulta vuonna 1976 onnistuivat todistamaan nelivärilauseen käymällä läpi suuren määrän väistämättömiä asetelmia tietokoneen avulla.[1]
