Matematiikassa funktion ääriarvo on funktion arvo sellaisessa pisteessä, että tämän pisteen jossakin ympäristössä olevissa pisteissä funktion arvo on aina joko suurempi tai yhtä suuri (minimi) tai pienempi tai yhtä suuri (maksimi) kuin ääriarvo. Ääriarvot voivat olla funktion maksimeja tai minimejä. [ 1] derivaatta on nolla niissä ääriarvokohdissa, joissa funktio on derivoituva . (Huomaa, että esimerkiksi suljetun välin päätepisteissä funktio ei ole derivoituva, vaikka sama funktio ilman tarkasteluvälin rajausta olisikin derivoituva kaikkialla.)
Paikallinen minimi
Funktion f paikallinen (lokaali) minimi välillä
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
x
∗ ∗ -->
⇔ ⇔ -->
∃ ∃ -->
δ δ -->
>
0
:
f
(
x
∗ ∗ -->
)
≤ ≤ -->
f
(
x
)
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
[
a
,
b
]
∩ ∩ -->
{
x
∈ ∈ -->
R
|
|
x
− − -->
x
∗ ∗ -->
|
<
δ δ -->
}
{\displaystyle x^{*}\Leftrightarrow \exists \delta >0:f(x^{*})\leq f(x)\quad \forall x\in [a,b]\cap \{x\in \mathbb {R} |\left|x-x^{*}\right|<\delta \}}
Funktion f paikallinen (lokaali) minimi välillä
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle x^{*}}
f
(
x
∗ ∗ -->
)
≤ ≤ -->
f
(
x
)
{\displaystyle f(x^{*})\leq f(x)}
x
{\displaystyle x}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle x^{*}}
Paikallinen maksimi
Funktion f paikallinen (lokaali) maksimi välillä
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
x
∗ ∗ -->
⇔ ⇔ -->
∃ ∃ -->
δ δ -->
>
0
:
f
(
x
∗ ∗ -->
)
≥ ≥ -->
f
(
x
)
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
[
a
,
b
]
∩ ∩ -->
{
x
∈ ∈ -->
R
|
|
x
− − -->
x
∗ ∗ -->
|
<
δ δ -->
}
{\displaystyle x^{*}\Leftrightarrow \exists \delta >0:f(x^{*})\geq f(x)\quad \forall x\in [a,b]\cap \{x\in \mathbb {R} |\left|x-x^{*}\right|<\delta \}}
Funktion f paikallinen (lokaali) maksimi välillä
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle x^{*}}
f
(
x
∗ ∗ -->
)
≥ ≥ -->
f
(
x
)
{\displaystyle f(x^{*})\geq f(x)}
x
{\displaystyle x}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle x^{*}}
Globaali minimi
Funktion f (globaali) minimi on
x
∗ ∗ -->
⇔ ⇔ -->
f
(
x
∗ ∗ -->
)
≤ ≤ -->
f
(
x
)
∀ ∀ -->
x
{\displaystyle x^{*}\Leftrightarrow f(x^{*})\leq f(x)\forall x}
Minimi on siis funktion kaikkein pienin arvo.
Globaali maksimi
Funktion f (globaali) maksimi on
x
∗ ∗ -->
⇔ ⇔ -->
f
(
x
∗ ∗ -->
)
≥ ≥ -->
f
(
x
)
∀ ∀ -->
x
{\displaystyle x^{*}\Leftrightarrow f(x^{*})\geq f(x)\forall x}
Maksimi on siis funktion kaikkein suurin arvo.
Funktion cos(3πx )/x paikallinen ja globaali maksimi ja minimi, kun 0.1≤x ≤1.1
Funktiolla voi olla ääriarvokohta (ns. kriittiset pisteet)
derivaatan nollakohdissa
suljetun välin päätepisteissä
epäjatkuvuuskohdissa
kohdissa, joissa derivaatta ei ole olemassa Jatkuvalla funktiolla on suljetulla välillä suurin ja pienin arvo.
Jos funktiolla on suurin arvo, se on yksi maksimeista. Jos funktiolla on pienin arvo, se on yksi minimeistä.
↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja , s. 430–431. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle x^{*}\Leftrightarrow \exists \delta >0:f(x^{*})\leq f(x)\quad \forall x\in [a,b]\cap \{x\in \mathbb {R} |\left|x-x^{*}\right|<\delta \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221694128190a150172deb30a8993263d7ccee14)
![{\displaystyle x^{*}\Leftrightarrow \exists \delta >0:f(x^{*})\geq f(x)\quad \forall x\in [a,b]\cap \{x\in \mathbb {R} |\left|x-x^{*}\right|<\delta \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d3fb9a84a2721afb83001cd062badd0eb5d24d8)
