Ta alustas profikarjääri 2013. aastal Hollandi esiliigaklubis Almere City. 2015. aastal liitus ta Hollandi kõrgliigaklubiga AZ Alkmaar. Hooajal 2015–16 lõi ta Hollandi kõrgliigas 27 väravat, millega oli liiga suurim väravakütt. Samal hooajal valiti ta Hollandi jalgpalli aasta uustulnukaks.
2016. aasta juulis liitus Janssen 17 miljoni naelsterlingi eest Inglismaa Premier League'i klubiga Tottenham Hotspur, kellega sõlmis nelja-aastase lepingu. Esimese värava Inglismaa kõrgliigas lõi ta 29. oktoobril 2016 penaltist mängus Leicester City vastu. Hooajal 2017–18 mängis ta laenul Türgi kõrgliigaklubis Fenerbahçe. 2018. aasta suvel naasis ta Tottenham Hotspuri, kuid vigastuse tõttu sai ta terve hooaja 2018–19 jooksul kaasa teha vaid kolmes kohtumises.
2019. aasta juulis liitus ta Mehhiko kõrgliigaklubiga Monterrey. 2019/20. Apertura-hooajal tuli ta klubiga Mehhiko meistriks. 2021. aastal võitis ta klubiga CONCACAF-i Meistrite Liiga.