Kuldlõige (ka jumalik proportsioon, kuldne lõige, kuldne suhe) tähendab lõigu sellist jaotamist kaheks osaks, et suurem osa oleks kogu lõigu ja selle väiksema osa keskmine võrdeline (geomeetriline keskmine).
Seda suhet tähistab matemaatiline konstant (fii), mis avaldub järgnevalt:
on irratsionaalarv, mille ligikaudne väärtus on 1,6180339887...
Seda konstanti nimetatakse kuldlõike suhtarvuks.
Arvutamine
Kaks positiivset arvu a ja b on kuldlõikes, kui
See võrrand defineerib üheselt .
Parempoolne võrrand näitab, et , ning saab teha asenduse vasakpoolses osas, saades
Taandades b, saame tulemuseks
Võrrandi mõlema poole korrutamine -ga ning liikmete ümberpaigutamine annab:
Fibonacci jada algab arvudega 0 ja 1 ning ülejäänud liikmed leitakse rekursiivselt kahe eelneva liikme summast. Jada esimesed liikmed on 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ... . Saab näidata, et Fibonacci jada liikme jagatis sellele vahetult eelneva liikmega läheneb kuldlõikele, kui piki jada edasi liikuda. Seega käitub Fibonacci jada asümptootiliselt kui geomeetriline jada, mille teguriks on kuldlõige.
Tõestuse idee
Fibonacci jada liikmed rahuldavad rekursiivset seost
Moodustame uue jada, mis koosneb järjestikuste Fibonacci jada liikmete jagatistest:
Kasutades Fibonacci jada määravat rekursiivset seost saab omakorda leida rekursiivse seose jada liikmete leidmiseks:
Et kõik selle jada liikmed on positiivsed, peab ja jada piirväärtus olema positiivne arv. Lisaks peab see rahuldama seost
mis on aga juba eelnevalt leitud ruutvõrrand kuldlõike jaoks. Seni näitasime, et kui jada koondub, siis on selle piirväärtuseks kuldlõige, kuid ei näidanud, et see jada koonudb. Viimast on lihtne näidata näiteks Banachi püsipunkti printsiibi abil. Viimane samm lõpetab tõestuse, et Fibonacci jada järjestikuste liikmete jagatised tõepoolest kuldlõikele lähenevad.
Fibonacci jada ja kuldlõike vaheline tihe seos väljendub samuti asjaolus, et Fibonacci jada liige kohal on esitatav kujul