Triplete de números amigos

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En matemáticas, un triplete de números amigos es un conjunto de tres números diferentes relacionados de tal manera que la suma de divisores restringida de cada uno es igual a la suma de los otros dos números.[1]​[2]​

En otra caracterización equivalente, una terna de amigos es un conjunto de tres números diferentes tales que la suma de los divisores de cada uno es igual a la suma de los tres números.

Entonces, un triplete (a, b, c) de números naturales se llama de amigos si s(a) = b + c, s(b) = a + c and s(c) = a + b, o equivalentemente, si σ(a) = σ(b) = σ(c) = a  + b + c. Aquí σ(n) es la suma de todos los divisores positivos, y s(n) = σ(n) − n es la suma alícuota.[3]​

Ejemplo

Por ejemplo, (1980, 2016, 2556) es una terna de números amigos, tal como figura en (sucesión A125490 en OEIS). Para comprobarlo, basta determinar sus divisores y sumarlos, y ver si:

σ(1980) = σ(2016) = σ(2556) = 1980 + 2016 + 2556

Realizando los cálculos correspondientes:

  • 1980 + 2016 + 2556 = 6552
  • σ(1980) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 9 + 10 + 11 + 12 + 15 + 18 + 20 + 22 + 30 + 33 + 36 + 44 + 45 + 55 + 60 + 66 + 90 + 99 + 110 + 132 + 165 + 180 + 198 + 220 + 330 + 396 + 495 + 660 + 990 + 1980 = 6552
  • σ(2016) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 12 + 14 + 16 + 18 + 21 + 24 + 28 + 32 + 36 + 42 + 48 + 56 + 63 + 72 + 84 + 96 + 112 + 126 + 144 + 168 + 224 + 252 + 288 + 336 + 504 + 672 + 1008 + 2016 = 6552
  • σ(2556) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 36 + 71 + 142 + 213 + 284 + 426 + 639 + 852 + 1278 + 2556 = 6552

Dado que los tres números tienen el mismo valor de la suma de sus divisores (6552), y que este valor es igual a la suma de los tres números (6552), entonces se comprueba que forman un triplete de números amigos.

Referencias

  1. ↑ Dickson, L. E. (1 de marzo de 1913). «Amicable Number Triples». The American Mathematical Monthly 20 (3): 84-92. ISSN 0002-9890. doi:10.1080/00029890.1913.11997926. 
  2. ↑ Dickson, L. E. (1913). «Amicable Number Triples». The American Mathematical Monthly 20 (3): 84-92. ISSN 0002-9890. doi:10.2307/2973442. 
  3. ↑ Mason, Thomas E. (1921). «On Amicable Numbers and Their Generalizations». The American Mathematical Monthly 28 (5): 195-200. ISSN 0002-9890. doi:10.2307/2973750.