${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {T}}_{\sim }}$

${\displaystyle p^{-1}(\emptyset )=\emptyset }$

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$

${\displaystyle (2)}$ ${\displaystyle X/{\sim }\in {\mathcal {T}}_{\sim }}$ ya que ${\displaystyle p^{-1}(X/{\sim })=X}$, que es un abierto de ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$ por definición de topología.

${\displaystyle (3)}$ Dados ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ abiertos de ${\displaystyle X/{\sim }}$, tenemos que ${\displaystyle p^{-1}(U_{i})\in {\mathcal {T}}_{X}\quad \forall i\in I}$ por definición de topología cociente. Por ser ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$ topología, ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}{p^{-1}(U_{i})}\in {\mathcal {T}}_{X}}$, pero ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}{p^{-1}(U_{i})}=p^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}{U_{i}}\right)\Rightarrow \bigcup _{i\in I}{U_{i}}\in {\mathcal {T}}_{\sim }}$.

${\displaystyle (4)}$ Dados ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i=1}^{n}}$ abiertos de ${\displaystyle X/{\sim }}$, tenemos que ${\displaystyle p^{-1}(U_{i})\in {\mathcal {T}}_{X}\quad \forall i=1,\dots ,n}$ por definición de topología cociente. Por ser ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$ topología, ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}{p^{-1}(U_{i})}\in {\mathcal {T}}_{X}}$, pero ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}{p^{-1}(U_{i})}=p^{-1}\left(\bigcap _{i=1}^{n}{U_{i}}\right)\Rightarrow \bigcap _{i=1}^{n}{U_{i}}\in {\mathcal {T}}_{\sim }}$.

${\displaystyle U\subseteq X/{\sim }}$

${\displaystyle p}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle U}$

${\displaystyle p^{-1}(U)\subseteq X}$

Que es la más fina que lo cumple también es inmediato por definición. Si ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ es una topología de ${\displaystyle X/{\sim }}$ más fina que ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\sim }}$, por definición, necesariamente tiene un abierto ${\displaystyle U\subseteq X/{\sim }}$ con ${\displaystyle p^{-1}(U)}$ no abierto de ${\displaystyle X}$, y esto contradice la definición de continuidad.

${\displaystyle (\Rightarrow )}$

${\displaystyle f}$

${\displaystyle p}$

${\displaystyle f\circ p}$

${\displaystyle (\Leftarrow )}$ Sea ${\displaystyle U\subseteq Y}$ abierto y veamos que su antiimagen por ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle f^{-1}(U)}$, es un abierto de ${\displaystyle X/{\sim }}$. Esto es equivalente, por definición de topología cociente, a ver que ${\displaystyle p^{-1}(f^{-1}(U))=(f\circ p)^{-1}(U)}$ es un abierto de ${\displaystyle X}$, pero esto es cierto por ser ${\displaystyle f\circ p}$ continua, por hipótesis. ${\displaystyle \quad \square }$

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle \sim _{X},\sim _{Y}}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle Y}$

${\displaystyle x\sim _{X}x'\Leftrightarrow f(x)\sim _{Y}f(x')\quad \forall x,x'\in X}$

Entonces, la aplicación ${\displaystyle f_{\sim }\colon X/{\sim _{X}}\to Y/{\sim _{Y}}}$ dada por ${\displaystyle [x]_{X}\mapsto f_{\sim }([x]_{X})=[f(x)]_{Y}}$ está bien definida y es un homeomorfismo.

${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle x\sim _{X}x'}$

${\displaystyle f_{\sim }}$

${\displaystyle [x]_{X}}$

En efecto, ${\displaystyle x\sim _{X}x'{\overset {\text{Hipótesis}}{\Rightarrow }}f(x)\sim _{Y}f(x')\Rightarrow [f(x)]_{Y}=[f(x')]_{Y}}$, que es lo que queríamos.

${\displaystyle (2)}$ ${\displaystyle f}$ es exhaustiva: Sea ${\displaystyle [y]_{Y}\in Y/{\sim _{Y}}}$, con representante ${\displaystyle y}$. Como ${\displaystyle f}$ es homeomorfismo y, en particular, exhaustiva, ${\displaystyle \exists x\in X}$ tal que ${\displaystyle f(x)=y}$. Pero entonces ${\displaystyle [y]_{Y}=[f(x)]_{Y}=f_{\sim }([x]_{X})}$ y tenemos una antiimagen ${\displaystyle [x]_{X}}$ de ${\displaystyle [y]_{Y}}$.

${\displaystyle (3)}$ ${\displaystyle f}$ es inyectiva: Supongamos que ${\displaystyle f_{\sim }([x]_{X})=f_{\sim }([x']_{X})}$ y veamos que ${\displaystyle [x]_{X}=[x']_{X}}$. En efecto, ${\displaystyle f_{\sim }([x]_{X})=f_{\sim }([x']_{X})\Rightarrow [f(x)]_{Y}=[f(x')]_{Y}\Rightarrow f(x)\sim _{Y}f(x'){\overset {\text{Hipótesis}}{\Rightarrow }}x\sim _{X}x'\Rightarrow [x]_{X}=[x']_{X}}$.

${\displaystyle (4)}$ ${\displaystyle f}$ es continua. Sean ${\displaystyle \pi _{X},\pi _{Y}}$ las proyecciones a ${\displaystyle X/{\sim _{X}},Y/{\sim _{Y}}}$, respectivamente. Tenemos que ${\displaystyle \pi _{Y}\circ f=f_{\sim }\circ \pi _{X}}$:

En efecto, dado ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle \pi _{Y}(f(x))=[f(x)]_{Y}{\overset {\text{def}}{=}}f_{\sim }([x]_{X})=f_{\sim }(\pi _{X}(x))}$. Pero ${\displaystyle f}$ es continua por ser homeomorfismo y ${\displaystyle \pi _{Y}}$ por ser una proyección al cociente. Por tanto, también lo es la composición ${\displaystyle \pi _{Y}\circ f=f_{\sim }\circ \pi _{X}}$, pero por la segunda propiedad del apartado de propiedades esto quiere decir que ${\displaystyle f_{\sim }}$ es continua.

${\displaystyle (5)}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ es continua. La demostración es la misma que ${\displaystyle (4)}$ pero heredando continuidad de ${\displaystyle f^{-1}}$ (continua por ser ${\displaystyle f}$ homeomorfismo). ${\displaystyle \quad \square }$