En matemáticas, los tests de Dini y de Dini-Lipschitz son procedimientos muy precisos que pueden usarse para probar que la serie de Fourier de una función converge en un punto dado. Reciben su nombre de Ulisse Dini y Rudolf Lipschitz.^[1]​

Sea ${\displaystyle f}$ una función definida en ${\displaystyle [0,2\pi ]}$, sea ${\displaystyle t}$ un punto y ${\displaystyle \delta }$ una constante positiva. Definimos el módulo local de continuidad en el punto ${\displaystyle t}$ como

${\displaystyle \left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|}$

Nótese que se considera ${\displaystyle f}$ una función periódica. Por ejemplo, si ${\displaystyle t=0}$ y ${\displaystyle \epsilon }$ es negativo, se tiene ${\displaystyle f(\epsilon )=f(2\pi +\epsilon )}$.

El módulo global de continuidad (o, simplemente, módulo de continuidad) se define como

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t)}$

Con estas definiciones se pueden enunciar los resultados principales

Teorema (test de Dini): Supongamos que una función ${\displaystyle f}$ satisface en un punto ${\displaystyle t}$ que

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,\mathrm {d} \delta <\infty .}$

Entonces la serie de Fourier de ${\displaystyle f}$ converge en ${\displaystyle t}$ a ${\displaystyle f(t)}$.

Por ejemplo, el teorema se cumple con ${\displaystyle \omega _{f}=\log ^{-2}\left({\frac {1}{\delta }}\right)}$ pero no con ${\displaystyle \log ^{-1}\left({\frac {1}{\delta }}\right)}$.

Teorema (test de Dini-Lipschitz): Supongamos que una función ${\displaystyle f}$ satisface

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}$

Entonces la serie de Fourier de ${\displaystyle f}$ converge uniformemente a ${\displaystyle f}$.

En particular, cualquier función de una clase de Hölder satisface el test de Dini-Lipschitz.

Ambos tests son lo mejor que pueden ser. Para el test de Dini-Lipschitz, es posible construir una función ${\displaystyle f}$ cuyo módulo de continuidad satisface el test con ${\displaystyle O}$ en lugar de ${\displaystyle o}$, esto es,

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}$

y la serie de Fourier de ${\displaystyle f}$ diverge. Para el test de Dini, la afirmación más precisa es un poco más larga. Afirma que para cualquier función ${\displaystyle \Omega }$ tal que

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\Omega (\delta )\,\mathrm {d} \delta =\infty }$

existe una función ${\displaystyle f}$ tal que

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ;0)<\Omega (\delta )}$

y la serie de Fourier de ${\displaystyle f}$ diverge en 0.

• Convergencia de series de Fourier
• Continuidad de Dini
• Criterio de Dini