En geometría, el teorema de Pitágoras inverso (también conocido como el teorema de Pitágoras recíproco o el teorema de Pitágoras al revés) es la siguiente:

Sean A, B los puntos extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo △ABC. Sea D el pie de una perpendicular tendida desde C, el vértice del ángulo recto, hasta la hipotenusa. Entonces

${\displaystyle {\frac {1}{CD^{2}}}={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}.}$

Este teorema no debe confundirse con la proposición 48 del libro 1 de los Elementos de Euclides, la inversa del teorema de Pitágoras, que afirma que si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces los otros dos lados contienen un ángulo recto.

El área del triángulo △ABC puede expresarse en términos de AC y BC, o bien de AB y CD:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt](AC\cdot BC)^{2}&=(AB\cdot CD)^{2}\\[4pt]{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {AB^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\end{aligned}}}$

dado CD > 0, AC > 0 y BC > 0.

Usando el Teorema de Pitágoras,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}+AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]\quad \therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}}$

como arriba.

Fíjese en particular:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\tfrac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}}$

La curva cruciforme o curva en cruz es una curva plana cuaternaria dada por la ecuación

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0}$

donde los dos parámetros que determinan la forma de la curva, a y b son cada uno CD.

Sustituyendo x por AC e y por BC se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}AC^{2}-CD^{2}BC^{2}&=0\\[4pt]AC^{2}BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\[4pt]{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]\therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}}$

Los triples pitagóricos inversos pueden generarse utilizando parámetros de tipo entero t y u de la siguiente manera.^[1]​

${\displaystyle {\begin{aligned}AC&=(t^{2}+u^{2})(t^{2}-u^{2})\\BC&=2tu(t^{2}+u^{2})\\CD&=2tu(t^{2}-u^{2})\end{aligned}}}$

Si se colocan dos lámparas idénticas en A y B, el teorema y la ley del cuadrado inverso implican que la intensidad luminosa en C es la misma que cuando se coloca una sola lámpara en D.

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