Relación transitiva

Una relación binaria $R$ sobre un conjunto $A$ es transitiva^[1]^[2] cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y este último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Esto es:

\forall a,b,c\in A:\quad aRb\quad \land \quad bRc\longrightarrow \quad aRc

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.

La propiedad anterior se conoce como transitividad.

Ejemplos

Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación de orden "menor o igual que" vemos que es transitiva:

\forall a,b,c\in \mathbb {N} :\quad a\leq b\quad \land \quad b\leq c\longrightarrow \quad a\leq c

Así, puesto que:

2,5,7\in \mathbb {N} :\quad 2\leq 5\quad \land \quad 5\leq 7\longrightarrow \quad 2\leq 7

En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.

Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:

\forall a,b,c\in \mathbb {N} :\quad a|b\quad \land \quad b|c\longrightarrow \quad a|c

Para cualquiera de los números naturales a, b y c: si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c

Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).

Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces

Se cumple $X\not \subset Y$ y $Y\not \subset Z$ pero no se cumple $X\not \subset Z$ puesto que $X$ es subconjunto de $Z$ .

Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.

Representación

Una relación binaria se puede representar como pares ordenados, mediante una matriz de adyacencia o mediante un grafo. Para el caso de una relación transitiva, cada una de estas representaciones tiene características especiales:

Como pares ordenados, $\forall a,b,c\in A,\ (a,b)\in R\land (b,c)\in R\;\Rightarrow \;(a,c)\in R$

Como matriz de adyacencia $M$ , la matriz es tal que $M\lor M^{2}=M.$

Como grafo, cada vez que desde un nodo $v_{1}$ se pueda llegar a otro $v_{3}$ , pasando primero por un nodo intermedio $v_{2}$ , entonces también existirá la arista $(v_{1},v_{3})$ .

Véase también

Propiedades de la relación binaria homogénea:

Relación transitiva
Relación intransitiva

Relación total

Conceptos relacionados:

Silogismo hipotético

Referencias

↑ Caicedo Barrero, Alfredo; Wagner de Gardia, Graciela; Me¡éndez Parra, Rosa María (2010). «2.4». Introducción a la Teoría de Grafos (1 edición). Ediciones Elizcom. p. 21. ISBN 978-958-993-257-5.
↑ Richard Johnsonbaugh (2005). «3». Matemáticas discretas (6 edición). Pearson Educación. p. 118. ISBN 978-970-260-637-6.

Datos: Q64861

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