En matemáticas, un punto extremo de un conjunto convexo ${\displaystyle S}$ en un espacio vectorial sobre los números reales o los números complejos, es un punto en ${\displaystyle S}$ que no se encuentra en ningún segmento abierto uniendo dos puntos de ${\displaystyle S.}$ En problemas de programación lineal, a un punto extremo también se le llama vértice o punto de esquina de ${\displaystyle S.}$^[1]​

En todo momento se asume que ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial real o complejo.

Para cualquier ${\displaystyle p,x,y\in X,}$ supóngase que ${\displaystyle p}$ se encuentra entre ^[2]​ ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ si ${\displaystyle x\neq y}$, y además existe un ${\displaystyle 0<t<1}$ tal que ${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$

Si ${\displaystyle K}$ es un subconjunto de ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle p\in K,}$ entonces ${\displaystyle p}$ se denomina punto extremo ^[2]​ de ${\displaystyle K}$ si no se halla entre dos puntos distintos de ${\displaystyle K.}$ Es decir, si no existen ${\displaystyle x,y\in K}$ y ${\displaystyle 0<t<1}$ tales que ${\displaystyle x\neq y}$ y ${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$ El conjunto de todos los puntos extremos de ${\displaystyle K}$ se denota por ${\displaystyle \operatorname {extremo} (K).}$

Generalizaciones

Si ${\displaystyle S}$ es un subconjunto de un espacio vectorial, entonces una subvariedad lineal (es decir, un espacio afín) ${\displaystyle A}$ del espacio vectorial se llama variedad de soporte si ${\displaystyle A}$ cumple con ${\displaystyle S}$ (es decir, ${\displaystyle A\cap S}$ no está vacío) y cada segmento abierto ${\displaystyle I\subseteq S}$ cuyo interior cumple con ${\displaystyle A}$ es necesariamente un subconjunto de ${\displaystyle A.}$^[3]​ Una variedad de soporte de dimensión 0 se llama punto extremo de ${\displaystyle S.}$^[3]​

El punto medio ^[2]​ de dos elementos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ en un espacio vectorial es el vector ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x+y).}$

Para cualquier elemento ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ en un espacio vectorial, el conjunto ${\displaystyle [x,y]=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}}$ se llama segmento rectilíneo cerrado o intervalo cerrado entre ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y.}$ El segmento rectilíneo abierto o el intervalo abierto entre ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ es ${\displaystyle (x,x)=\varnothing }$ cuando ${\displaystyle x=y}$ mientras que es ${\displaystyle (x,y)=\{tx+(1-t)y:0<t<1\}}$ cuando ${\displaystyle x\neq y.}$^[2]​ Los puntos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ se denominan puntos finales de estos intervalos. Se dice que un intervalo es no degenerado o intervalo propio si sus puntos finales son distintos. El punto medio de un intervalo es el punto medio de sus puntos extremos.

El intervalo cerrado ${\displaystyle [x,y]}$ es igual a la envolvente convexa de ${\displaystyle (x,y)}$ si (y solo si) ${\displaystyle x\neq y.}$ Entonces, si ${\displaystyle K}$ es convexo y ${\displaystyle x,y\in K,}$ entonces ${\displaystyle [x,y]\subseteq K.}$

Si ${\displaystyle K}$ es un subconjunto no vacío de ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle F}$ es un subconjunto no vacío de ${\displaystyle K,}$ entonces ${\displaystyle F}$ se llama cara ^[2]​ de ${\displaystyle K}$ si siempre que un punto ${\displaystyle p\in F}$ se encuentre entre dos puntos de ${\displaystyle K,}$ esos dos puntos necesariamente pertenecen a ${\displaystyle F.}$

Si ${\displaystyle a<b}$ son dos números reales, entonces ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son puntos extremos del intervalo ${\displaystyle [a,b].}$ Sin embargo, el intervalo abierto ${\displaystyle (a,b)}$ no tiene puntos extremos.^[2]​ Cualquier intervalo en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ no tiene puntos extremos, mientras que cualquier intervalo no degenerado que no sea igual a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sí tiene puntos extremos (es decir, los puntos finales del intervalo cerrado). De manera más general, cualquier subconjunto abierto de un espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ de dimensión finita no tiene puntos extremos.

Los puntos extremos del disco unidad en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ forman la circunferencia goniométrica.

El perímetro de cualquier polígono convexo en el plano es una cara de ese polígono.^[2]​ Los vértices de cualquier polígono convexo en el plano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ son los puntos extremos de ese polígono.

Una aplicación lineal inyectiva ${\displaystyle F:X\to Y}$ hace corresponder los puntos extremos de un conjunto convexo ${\displaystyle C\subseteq X}$ con los puntos extremos del conjunto convexo ${\displaystyle F(X).}$^[2]​. Esto también es cierto para aplicaciones afines inyectivas.

Los puntos extremos de un conjunto convexo compacto forman un espacio de Baire (con la topología subespacial), pero este conjunto puede que no se pueda cerrar en ${\displaystyle X.}$^[2]​.

El teorema de Krein-Milman es posiblemente uno de los teoremas más conocidos sobre puntos extremos.

Estos teoremas son para espacios de Banach de aucerdo con la propiedad de Radon-Nikodym.

Un teorema de Joram Lindenstrauss establece que, en un espacio de Banach con la propiedad Radon-Nikodym, un conjunto cerrado y acotado no vacío tiene un punto extremo (en espacios de dimensión infinita, la propiedad de compacidad es más fuerte que las propiedades conjuntas de ser cerrado y acotado).^[4]​

El teorema de Edgar implica el teorema de Lindenstrauss.

Un subconjunto convexo cerrado de un espacio vectorial topológico se llama estrictamente convexo si cada uno de sus puntos límite (topológicos) es un punto extremo.^[6]​ La 1-esfera de cualquier espacio de Hilbert es un conjunto estrictamente convexo.^[6]​

De manera más general, un punto en un conjunto convexo ${\displaystyle S}$ es ${\displaystyle k}$-extremo si se encuentra en el interior de un conjunto convexo de dimensión ${\displaystyle k}$ dentro de ${\displaystyle S,}$ pero no en un conjunto convexo de dimensión ${\displaystyle k+1}$ dentro de ${\displaystyle S.}$ Por lo tanto, un punto extremo también es un punto extremo ${\displaystyle 0}$. Si ${\displaystyle S}$ es un politopo, entonces los puntos extremos de ${\displaystyle k}$ son exactamente los puntos interiores de las caras ${\displaystyle k}$-dimensionales de ${\displaystyle S.}$ Más generalmente, para cualquier conjunto convexo ${\displaystyle S,}$ los puntos extremos ${\displaystyle k}$ se dividen en caras abiertas ${\displaystyle k}$-dimensionales.

El teorema de Krein-Milman de dimensión finita, debido a Minkowski, se puede demostrar rápidamente utilizando el concepto de puntos extremos ${\displaystyle k}$. Si ${\displaystyle S}$ es cerrado, acotado y ${\displaystyle n}$-dimensional, y si ${\displaystyle p}$ es un punto en ${\displaystyle S,}$ entonces ${\displaystyle p}$ es ${\displaystyle k}$-extremo para algún ${\displaystyle k\leq n.}$ El teorema afirma que ${\displaystyle p}$ es una combinación convexa de puntos extremos. Si ${\displaystyle k=0}$, entonces es inmediato. De lo contrario, ${\displaystyle p}$ se encuentra en un segmento rectilíneo en ${\displaystyle S}$ que puede extenderse al máximo (porque ${\displaystyle S}$ está cerrado y acotado). Si los puntos finales del segmento son ${\displaystyle q}$ y ${\displaystyle r,}$ entonces su rango extremo debe ser menor que el de ${\displaystyle p,}$ y el teorema se deduce por inducción.

• Teoría de Choquet
• Control Sí/No^[7]​

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