La proyección vectorial (también conocida como componente vectorial o resolución vectorial) de un vector a sobre (o respecto a) un vector b distinto de cero, a veces denotado como ${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$, es el operador de proyección de a sobre una recta paralela a b. Es un vector paralelo a b, formulado como ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} }$, donde ${\displaystyle a_{1}}$ es un escalar, llamado proyección escalar de a sobre b, y b̂ es el vector unitario en la dirección de b.

A su vez, la proyección escalar se define como:^[1]​

${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} }$

donde el operador ⋅ denota un producto escalar, ‖a‖ es la longitud de a y θ es el ángulo entre a y b.

La proyección escalar es igual en valor absoluto a la longitud de la proyección vectorial, con un signo menos si la dirección de la proyección es opuesta a la dirección de b, es decir, si los dos vectores se encuentran en semiespacios diferentes, o si las direcciones de ambos se encuentran en diferentes hemisferios.

La proyección vectorial se puede reescribir en términos únicamente de los vectores de entrada como:

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$

El componente vectorial o vector resuelto de a perpendicular a b, a veces también llamado vector resto (traducción aproximada del término inglés "vector rejection") de a de b (denotado ${\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$),^[2]​ es la proyección ortogonal de a sobre el plano (o, en general, hiperplano) ortogonal a b. Como tanto la proyección a₁ como el resto a₂ de un vector a son vectores y su suma es igual a a, esto implica que el resto viene dado por: ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}.}$

Normalmente, una proyección vectorial se indica en negrita (por ejemplo, a₁) y la proyección escalar correspondiente con fuente normal (por ejemplo, a₁). En algunos casos, especialmente en escritura a mano, la proyección vectorial también se indica usando un signo diacrítico encima o debajo de la letra (por ejemplo, ${\displaystyle {\vec {a}}_{1}}$ o a₁). La proyección vectorial de a sobre b y el resto correspondiente a veces se denotan por a_∥b y a_⊥b, respectivamente.

La proyección escalar de a sobre b es un escalar igual a:

${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$

donde θ es el ángulo entre a y b.

Se puede utilizar una proyección escalar como factor de escala para calcular la proyección vectorial correspondiente.

La proyección vectorial de a sobre b es un vector cuya magnitud es la proyección escalar de a sobre b con la misma dirección que b. Es decir, se define como

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} }$

donde ${\displaystyle a_{1}}$ es la proyección escalar correspondiente, como se definió anteriormente, y ${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$ es el vector unitario con la misma dirección que b:

${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}}$

Por definición, el vector resto de a sobre b es:

${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$

y por lo tanto:

${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}} }$

Cuando no se conoce θ, el coseno de θ se puede calcular en términos de a y b, mediante la siguiente propiedad del producto escalar a ⋅ b

${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}=\cos \theta }$

Según la propiedad del producto escalar mencionada anteriormente, la definición de proyección escalar queda como:^[1]​

${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$

En dos dimensiones, esto se convierte en

${\displaystyle a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$

De manera similar, la definición de la proyección vectorial de a sobre b se convierte en:^[1]​

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},}$

que es equivalente a cualquiera de las dos expresiones siguientes:

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,}$

o^[3]​

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$

En dos dimensiones, el resto escalar es equivalente a la proyección de a sobre ${\displaystyle \mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}}$, que es ${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}}$ girado 90° hacia la izquierda. Por eso,

${\displaystyle a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$

Este producto escalar se denomina "producto escalar perpendicular".^[4]​

Por definición,

${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$

Por eso,

${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}$

La proyección escalar de a sobre b es un escalar que tiene signo negativo si 90 grados < θ ≤ 180 grados. Coincide con la longitud ‖c‖ de la proyección del vector si el ángulo es menor que 90°. Más exactamente:

• a₁= ‖a₁‖ si (0° ≤ θ < 90°),
• a₁= 0 si (θ = 90°),
• a₁= −‖a₁‖ si (90° < θ ≤ 180°).

La proyección vectorial de a sobre b es un vector a₁ que es nulo o paralelo a b. Más exactamente:

• a₁= 0 si θ= 90°,
• a₁ y b tienen la misma dirección si 0° ≤ θ < 90°,
• a₁ y b tienen direcciones opuestas si 90° < θ ≤ 180°.

El vector resto de a en b es un vector a₂ que es nulo u ortogonal a b. Más exactamente:

• a₂= 0 si θ= 0° o θ= 180°,
• a₂ es ortogonal a b si (0 < θ < 180°),

La proyección ortogonal se puede representar mediante una matriz de proyección. Para proyectar un vector sobre el vector unitario a= (a_x, a_y, a_z), sería necesario multiplicarlo por esta matriz de proyección:

${\displaystyle P_{\mathbf {a} }=\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}}$

La proyección vectorial es una operación importante en el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt de bases en espacios vectoriales. También se utiliza en teorema del eje de separación para detectar si dos formas convexas se cruzan.

Dado que las nociones de longitud de un vector y de ángulo entre vectores se pueden generalizar a cualquier espacio prehilbertiano de n dimensiones, esto también es válido para las nociones de proyección ortogonal de un vector, proyección de un vector sobre otro y resto de un vector respecto a otro.

En algunos casos, el producto interno coincide con el producto escalar. Cuando no coinciden, se utiliza el producto interior en lugar del producto escalar en las definiciones formales de proyección y resto. Para un espacio prehilbertiano tridimensional, las nociones de proyección de un vector sobre otro y de resto de un vector respecto a otro pueden generalizarse a las nociones de proyección de un vector sobre un plano y resto de un vector sobre un plano.^[5]​ La proyección de un vector respecto a un plano es su operador de proyección en ese plano. El resto de un vector respecto a un plano es su proyección ortogonal sobre una recta ortogonal al plano dado. Ambos son vectores. El primero es paralelo al plano, y el segundo es ortogonal al plano.

Para un vector y un plano dados, la suma de proyección y resto es igual al vector original. De manera similar, para espacios de productos internos con más de tres dimensiones, las nociones de proyección sobre un vector y de resto respecto a un vector pueden generalizarse a las nociones de proyección sobre un hiperplano y de resto respecto a un hiperplano. En álgebra geométrica, se pueden generalizar aún más a las nociones de proyección y resto de un multivector general hacia/desde cualquier k-lámina invertible.

• Proyección escalar
• Notación vectorial

• Proyección de un vector sobre un plano