${\displaystyle {\text{Todos los polinomios anuladores de }}f{\text{ son múltiplos de un único polinomio mónico anulador de }}f,}$

${\displaystyle {\text{ al que llamaremos polinomio mínimo de }}f.}$

${\displaystyle f}$

${\displaystyle E}$

${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )}$

${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Como ${\displaystyle {\text{dim}}({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} ))=n^{2}}$, el conjunto de matrices ${\displaystyle \{A^{i}\}_{i=0}^{n^{2}}}$, de cardinal ${\displaystyle n^{2}+1}$, es necesariamente linealmente dependiente, es decir,

${\displaystyle \exists \{a_{i}\}_{i=0}^{n^{2}}\subseteq \mathbb {K} }$ tales que ${\displaystyle a_{0}I+a_{1}A+...+a_{n^{2}}A^{n^{2}}=0\Rightarrow \exists p(t)=a_{0}+a_{1}t+...+a_{n^{2}}t^{n^{2}}\in \mathbb {K} [t]}$ anulador de ${\displaystyle A\Rightarrow }$

${\displaystyle \Rightarrow \exists p(t)=a_{0}+a_{1}t+...+a_{n^{2}}t^{n^{2}}}$ anulador de ${\displaystyle f}$.

Esto último por ser ${\displaystyle A}$ la matriz de ${\displaystyle f}$ en base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Por tanto, existen polinomios anuladores y podemos tomar, pues, uno que sea de grado mínimo. Si lo dividimos por el coeficiente del término de grado máximo, sigue siendo anulador y ahora también es mónico. Este polinomio, al que denotaremos por ${\displaystyle m(t)\in \mathbb {K} [t]}$, es nuestro candidato a polinomio mínimo.

Sea pues ${\displaystyle p(t)\in \mathbb {K} [t]}$ un polinomio anulador de ${\displaystyle f}$. Queremos ver que ${\displaystyle m}$ divide a ${\displaystyle p}$. Hacemos la división entera de ${\displaystyle p}$ entre ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle p(t)=m(t)\cdot c(t)+r(t)}$, con ${\displaystyle c,r\in \mathbb {K} [t],r=0}$ o ${\displaystyle {\text{gr}}~r<{\text{gr}}~m\quad (*)}$

Si aplicamos la igualdad a ${\displaystyle f}$, obtenemos que

${\displaystyle p(f)=m(f)\circ c(f)+r(f)}$,

pero como ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle m}$ son anuladores de ${\displaystyle f}$ por definición,

${\displaystyle 0=0\circ c(f)+r(f)\Rightarrow r(f)=0\Rightarrow r}$ es anulador de ${\displaystyle f}$.

Pero, por definición, ${\displaystyle m}$ es el polinomio anulador de grado mínimo, luego ${\displaystyle {\text{gr}}~r\geq {\text{gr}}~m}$, de forma que, por ${\displaystyle (*)}$, necesariamente ${\displaystyle r=0\Rightarrow m}$ divide a ${\displaystyle p}$.

Para ver la unicidad, supongamos que hubiera dos polinomios ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle m'}$ mónicos de grado mínimo tales que fueran anuladores de ${\displaystyle f.}$ Por lo anterior, uno tiene que dividir al otro. Podemos suponer que ${\displaystyle m}$ divide a ${\displaystyle m'}$. Pero como son mónicos y tienen el mismo grado, necesariamente ${\displaystyle m=m'}$. ${\displaystyle \quad \square }$