En matemáticas, más precisamente en el campo de la teoría de los anillos, el orden es un subanillo ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ de un anillo ${\displaystyle A}$, de manera que

1. ${\displaystyle A}$ es un anillo el cual es un álgebra de dimensión finita sobre el campo de los números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
2. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ engendra ${\displaystyle A}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, para que ${\displaystyle \mathbb {Q} {\mathcal {O}}=A}$, y
3. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ es un retículo ${\displaystyle Z}$ en ${\displaystyle A}$ (es decir, un ℤ-submódulo de tipo finito sin torsión).

Las últimas dos condiciones pueden explicarse en términos más informales: aditivamente, ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ es un grupo abeliano libre generado por una base para ${\displaystyle A}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Más generalmente, para ${\displaystyle R}$, un dominio integral contenido en un campo ${\displaystyle K}$, definimos ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ para ser de ${\displaystyle R}$-orden en una ${\displaystyle K}$-álgebra ${\displaystyle A}$ si esta es un subanillo de ${\displaystyle A}$, la cual es una ${\displaystyle R}$-red completa.^[1]​

Cuando ${\displaystyle A}$ no es un anillo conmutativo, la idea del orden sigue siendo importante, pero los fenómenos son diferentes. Por ejemplo, los cuaterniones de Hurwitz forman un orden máximo en los cuaterniones con coordenadas racionales; no son cuaterniones con coordenadas enteros. Los órdenes máximos existen, en general, pero se necesita que no sean únicos: en general no hay un orden más grande, sino un número de órdenes máximos. Una clase importante de ejemplos son los grupos de anillos integrales.

Algunos ejemplos son:^[1]​

• Si ${\displaystyle A}$ es la matriz del anillo ${\displaystyle M_{n}(K)}$ sobre ${\displaystyle K}$, entonces la matriz del anillo ${\displaystyle M_{n}(R)}$ sobre ${\displaystyle R}$ es de ${\displaystyle R}$-orden en ${\displaystyle A}$.
• Si ${\displaystyle R}$ es un dominio integral y ${\displaystyle L}$ una extensión separable finita de ${\displaystyle K}$, entonces el cierra integral ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle L}$ es de ${\displaystyle R}$-orden en ${\displaystyle L}$.
• Si ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle A}$ es un elemento integral sobre ${\displaystyle R}$, entonces el anillo de polinomios ${\displaystyle R[a]}$ es de ${\displaystyle R}$-orden en el álgebra ${\displaystyle K[a]}$.
• Si ${\displaystyle A}$ es el grupo del anillo ${\displaystyle K[G]}$ de un grupo finito ${\displaystyle G}$, entonces ${\displaystyle R[G]}$ es de ${\displaystyle R}$-orden en ${\displaystyle K[G]}$.

Una propiedad fundamental de los ${\displaystyle R}$-órdenes es que cada elemento de un ${\displaystyle R}$-orden es integral sobre ${\displaystyle R}$.^[2]​

Si el cierre integral ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle A}$ es un ${\displaystyle R}$-orden, entonces este resultado muestra que ${\displaystyle S}$ es el ${\displaystyle R}$-orden máximo en ${\displaystyle A}$. Sin embargo, este no es siempre el caso: en realidad, ${\displaystyle S}$ ni siquiera necesita ser un anillo, e incluso si lo es (por ejemplo, cuando ${\displaystyle A}$ es conmutativo), entonces ${\displaystyle S}$ no necesita ser una ${\displaystyle R}$-red.^[2]​

El ejemplo principal es el caso donde ${\displaystyle A}$ es un cuerpo de números algebraicos ${\displaystyle K}$ y ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ es su anillo de enteros. En la teoría de números algebraicos hay ejemplos para cualquier ${\displaystyle K}$ esté o no en el campo racional de los subanillos del anillo de enteros apropiado que también son órdenes. Por ejemplo, en la extensión de campo ${\displaystyle A=Q(i)}$ de racionales gaussianos sobre ${\displaystyle Q}$, el cierre integral de ${\displaystyle Z}$ es el anillo de enteros gaussianos ${\displaystyle Z[i]}$, y así, es el ${\displaystyle Z}$-orden máximo único: todos los demás órdenes en ${\displaystyle A}$ están contenidos en él, por ejemplo, podemos tomar el subanillo de

${\displaystyle a+bi,}$

para donde ${\displaystyle b}$ es un número par.^[3]​

La teoría del orden máximo también puede ser examinada a campo local. Esta técnica es aplicada en la teoría de números algebraicos y la teoría de representación modular.

• Orden cuaternión de Hurwitz - Un ejemplo de orden de anillos