En matemáticas, en el área de la teoría de números sintéticos, los números de Euler son una secuencia E_n de números enteros definidos por el siguiente desarrollo de la serie de Taylor:^[1]​

${\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{\exp(t)+\exp(-t)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}$

donde t es el ángulo del coseno hiperbólico. Los números de Euler aparecen como un valor especial en los polinomios de Euler.

Algunos matemáticos alteran los desarrollos para así poder evitar los ceros derivados de los valores impares y para convertir todos los valores en números positivos.

Los números de Euler aparecen en los desarrollos de Taylor de la secante y de la secante hiperbólica.

Los números de Euler de índice impar son todos cero. Los de índice par (sucesión A028296 en OEIS) tienen signos alternados. Los primeros valores son:

E₀ = 1

E₂ = −1

E₄ = 5

E₆ = −61

E₈ = 1385

E₁₀ = −50521

E₁₂ = 2702765

E₁₄ = -199360981

E₁₆ = 19391512145

E₁₈ = -2404879675441

E₂₀ = 370371188237525

Los números de Euler crecen bastante rápido de manera que están acotados mediante el siguiente límite inferior

${\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}$

• Número de Bernoulli
• Número de Bell
• Constante de Euler–Mascheroni

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Números de Euler», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Weisstein, Eric W. «Euler number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Euler numbers calculator