Número metálico

En matemáticas los números metálicos son un conjunto de números que reciben nombres especiales relacionados con diferentes metales. Se obtienen a partir de la ecuación de segundo grado:^[1]

(1) $x^{2}-nx-1=0$

donde n es un número natural.

Los números metálicos más conocidos son el número de oro ( ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ), el número de plata ( $1+{\sqrt {2}}$ ) y el número de bronce ( ${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$ ) que verifican la siguiente fracción continua:^[1]

(2) $n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]$

con n igual a 1, 2 y 3 respectivamente.

Tabla 1

Valor de los números metálicos^[2]

Nombre	n	Valor aproximado	Valor exacto
Oro	1	1,618033989...	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$
Plata	2	2,414213562...	$1+{\sqrt {2}}$
Bronce	3	3,302775638...	${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$
Cobre	4	4,236067978...	$2+{\sqrt {5}}$
Níquel	5	5,192582404...	${\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}$

Historia

Los más conocidos, se han utilizado desde los albores de la aritmética; los más populares, por ejemplo el número áureo, han sido estudiados de manera exhaustiva. Corresponde el mérito de la sistematización, estudio y divulgación de estos números a la matemática argentina Vera de Spinadel (1929-2017).

Denominación y generación

Los números metálicos pueden ser generados por tres diferentes métodos:

Ecuación cuadrática

La solución general de la ecuación de segundo grado se expresa por:

x={\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}

que para el rango inferior de n proporciona los valores que se muestran en la Tabla 1.

Fracción continua

La ecuación general puede ser reordenada en la forma:

x=n+{\frac {1}{x}}

Sustituyendo la expresión de la variable en el denominador:

x=n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{x}}}}

operación que puede continuarse hasta el infinito, resultando la expresión general de la fracción continua.

Límite de serie

Se denomina sucesión de Fibonacci secundaria a la serie infinita construida según el siguiente criterio:

G(n+2)=G(n+1)+G(n)

El límite en el infinito de la razón entre dos términos consecutivos:

{\frac {G(n)}{G(n-1)}}

es, precisamente, el número áureo.

Generalizando el anterior resultado se ha denominado "sucesión de Fibonacci secundaria generalizada" a la formada según la recurrencia:

G(n+2)=nG(n+1)+G(n)

cuyos límites entre dos términos consecutivos tienden a los correspondientes "números metálicos" con idéntico valor de n.

Referencias

↑ ^a ^b Corbalán, 2010, p. 30.
↑ Weisstein, Eric W. «Silver Ratio». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 11 de octubre de 2021.

Bibliografía

Corbalán, Fernando (2010). La proporción áurea: el lenguaje matemático de la belleza y el arte. RBA Coleccionables. ISBN 978-84-473-6623-1. OCLC 804768186.

Enlaces externos

La familia de números metálicos (Vera W. de Spinadel) (pdf)

Datos: Q11634820
Multimedia: Metallic means / Q11634820

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