En matemáticas, se define el n-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros n números naturales:

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

Este también es igual a n veces el inverso de la media armónica.

Los números armónicos han sido estudiados desde la antigüedad y son importantes en muchas ramas de la teoría de números. A veces se denomina vagamente serie armónica. Están íntimamente relacionados con la función zeta de Riemann, y aparecen en diversas expresiones de funciones especiales.

La primera representación, en forma integral, fue dada por Leonhard Euler:

${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}$

En esta representación es fácil mostrar que se satisface una relación recursiva mediante la fórmula

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}},}$

y luego

${\displaystyle x^{n}+{\frac {1-x^{n}}{1-x}}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}}$

dentro de la integral.

Para los números naturales, H_n también se puede representar como:

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}\int _{0}^{1}x^{k}\,dx}$

H_n crece igual de rápido que el logaritmo natural de n. La razón es que la suma está aproximada por la integral

${\displaystyle \int _{1}^{n}{1 \over x}\,dx}$

cuyo valor es log(n). Concretamente, tenemos el siguiente límite:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}-\log(n)=\gamma }$

(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni 0.5772156649...).

Y también, como la correspondiente expansión asintótica:

${\displaystyle H_{n}=\gamma +\log {n}+{\frac {1}{2}}n^{-1}-{\frac {1}{12}}n^{-2}+{\frac {1}{120}}n^{-4}+{\mathcal {O}}(n^{-6})}$

Una función generatriz que indexa los números armónicos es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\log(1-z)}{1-z}},}$

donde ${\displaystyle \log(z)}$ es el logaritmo natural. Otra función generadora exponencial que indexa a los números armónicos es:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}{\mbox{Ein}}(z)}$

donde ${\displaystyle {\mbox{Ein}}(z)}$ es la integral exponencial entera. Nótese que

${\displaystyle {\mbox{Ein}}(z)={\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\log z=\Gamma (0,z)+\gamma +\log z\,}$

donde ${\displaystyle \Gamma (0,z)}$ es la función gamma incompleta.

Los números armónicos aparecen en varias fórmulas de expresiones del cálculo, como por ejemplo, esta expresión de la función digamma:

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .\,}$

Esta relación es también utilizada frecuentemente para definir la extensión de los números armónicos a números no enteros n. Los números armónicos también son utilizados frecuentemente para definir γ, usando el límite antes definido en la anterior sección, aunque

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\log \left(n+{1 \over 2}\right)\right)}}$

este converge más rápidamente.

En 2001 Jeffrey Lagarias probó que la hipótesis de Riemann es equivalente a decir que:

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n}),}$

es cierto para cualquier número entero n ≥ 1 con la desigualdad estricta si n > 1; Aquí σ(n) denota la suma de los divisores de n.

Los Números armónicos generalizados de orden n de m están dados por la expresión:

${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}}$

Nótese que el límite cuando n tiende a infinito existe si m > 1.

Otras notaciones ocasinalmente utilizadas, son:

${\displaystyle H_{n,m}=H_{n}^{(m)}=H_{m}(n)}$

El caso especial de m = 1 es simplemente el n-ésimo número armónico y suele escribirse sin el índice superior.

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$

En el límite, cuando ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, los números armónicos generalizados convergen a la función zeta de Riemann.

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m)}$

Al igual que en la suma ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}}$ aparecen los números de Bernoulli, en los números armónicos generalizados aparecen los números de Stirling.

Una función generatriz para los números armónicos generalizados es:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {{\mbox{Li}}_{m}(z)}{1-z}}}$

donde ${\displaystyle {\mbox{Li}}_{m}(z)}$ es el polilogaritmo, y ${\displaystyle |z|<1}$. La función generatriz dada arriba, es un caso especial de esta fórmula cuando m = 1.

De la fórmula integral de Euler para los números armónicos se obtiene la siguiente identidad:

${\displaystyle \int _{a}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{s \choose k}(a-1)^{k}}$

la cual se cumple para un número complejo s general, utilizando una extensión adecuada de los coeficientes binomiales. Escogiendo a = 0, esta fórmula da ambas representaciones (integral y en forma de serie) para una función que genera los números armónicos y extiende la definición al plano complejo. Esta relación integral se obtiene fácilmente por manipulación del binomio de Newton:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{s \choose k}(-x)^{k}=(1-x)^{s}}$

concretamente, del binomio generalizado de Newton. La función interpolada es justamente la función digamma, así:

${\displaystyle \psi (s+1)+\gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx}$

donde ψ(x) es la función digamma, y γ es la constante de Euler-Mascheroni. El proceso de integración se puede repetir para obtener

${\displaystyle H_{s,2}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}H_{k}}$

• Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp. 150-161. Reprinted in Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 87 - 100
• Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn, A Stirling Encounter with Harmonic Numbers, (2002) Mathematics Magazine, 75 (2) pp 95-103.
• Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.7: Harmonic Numbers, pp.75–79.
• Peter Paule and Carsten Schneider, Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities, (2003) Adv. in Appl. Math. 31(2), pp. 359-378.
• Wenchang CHU, A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers, (2004) The Electronic Journal of Combinatorics, 11, #N15.

• http://www.EulerArchive.org (en inglés)
• Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes, E43 (en latín) [1]
• Ed Sandifer: "How Euler Did It.Gamma the constant" (en inglés) [2]
• Ed Sandifer, How Euler Did It.Estimating the Basel problem (en inglés) [3]
• Weisstein, Eric W. «Harmonic number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.