En matemáticas, se define una sucesión de hiperoperaciones^{[nb 1]}​ como una secuencia infinita de operaciones aritméticas (llamadas hiperoperaciones)^[1]​^[11]​^[13]​ que se inicia con la operación binaria exponenciación (n = 3), siguiendo con las operaciones binarias de tetración (n = 4), pentación (n = 5), y hexación (n = 6), después de lo cual la sucesión continúa con más operaciones binarias, que se extienden más allá de la potenciación, mediante la asociatividad por el lado derecho. Para las operaciones más allá de la potenciación, Reuben Goodstein ideó nombrar el n-ésimo miembro de esta sucesión añadiendo al prefijo griego de n el sufijo -ción (como tetración (n = 4), pentación (n = 5), hexación (n = 6), etc.)^[5]​ y puede ser escrito mediante el uso de (n − 2) flechas según la notación de flechas de Knuth.

En la notación de Knuth, cada hiperoperación puede ser entendida recursivamente en términos de la anterior mediante:

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{m}b&=&\underbrace {a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m-1}(...(a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m-1}a))...)))} \\&&b{\mbox{ veces }}a\end{matrix}}}$ ${\displaystyle (m\geq 0)}$

También puede definirse de acuerdo a una regla de recursividad con parte de la expresión anterior, como en la versión flecha hacia arriba de Knuth de la función de Ackermann:

${\displaystyle a\uparrow ^{m}b=a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m}(b-1))}$ ${\displaystyle (m\geq -1)}$

En notación compacta, estas dos expresiones toman la forma:

${\displaystyle a[n]b=\underbrace {a[n-1](a[n-1](a[n-1](\cdots a[n-1](a[n-1](a[n-1]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ veces }}a},\quad (n\geq 2)}$

y

${\displaystyle a[n]b=a[n-1]\left(a[n]\left(b-1\right)\right),\quad (n\geq 1)}$

Estas notaciones pueden ser usadas fácilmente para mostrar números mucho más grandes que los representables con la notación científica, tales como el número de Skewes y el googolplex, pero hay algunos números que incluso no se pueden mostrar fácilmente con esta notación, tales como el número de Graham y el ÁRBOL(3).

Esta repetición de la regla es común a muchas variantes de hiperoperaciones (véase a continuación).

La sucesión de hiperoperaciones ${\displaystyle H_{n}(a,b)\,:\,(\mathbb {N} _{0})^{3}\rightarrow \mathbb {N} _{0}\,\!}$ es la sucesión de operaciones binarias ${\displaystyle H_{n}\,:\,(\mathbb {N} _{0})^{2}\rightarrow \mathbb {N} _{0}\,\!}$, que se define recursivamente como sigue:

${\displaystyle H_{n}(a,b)={\begin{cases}b+1&{\text{si }}n=0\\a&{\text{si }}n=1{\text{ y }}b=0\\0&{\text{si }}n=2{\text{ y }}b=0\\1&{\text{si }}n\geq 3{\text{ y }}b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{en cualquier otro caso}}\end{cases}}\,\!}$

Téngase en cuenta que para n = 0, la operación binaria esencialmente se reduce a una única operación (función sucesor) ignorando el primer argumento.

Para n = 0, 1, 2, 3, esta definición reproduce las operaciones básicas de la aritmética del sucesor (que es una única operación), adición, multiplicación y potenciación, respectivamente, como

${\displaystyle H_{0}(a,b)=b+1\,\!,}$

${\displaystyle H_{1}(a,b)=a+b\,\!,}$

${\displaystyle H_{2}(a,b)=a\cdot b\,\!,}$

${\displaystyle H_{3}(a,b)=a^{b}\,\!,}$

para todos los enteros no negativos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$.

Entonces, ¿cuál será la siguiente operación después de la potenciación? Se ha definido la multiplicación de modo que ${\displaystyle H_{2}(a,3)=a*3=a+a+a,}$, y se define la potenciación de modo que ${\displaystyle H_{3}(a,3)=a^{3}=a\cdot a\cdot a,}$ por lo que parece lógico definir la siguiente operación, la tetración de manera que ${\displaystyle H_{4}(a,3)={\text{tetración }}(a,3)=a^{a^{a}},}$ con una torre formada por tres veces ${\displaystyle a}$. De forma análoga, la pentación de ${\displaystyle (a,3)}$ será ${\displaystyle H_{5}(a,3)={\text{tetración }}(a,{\text{tetración }}(a,a))}$.

Las H operaciones para n ≥ 3 pueden ser escritas en la la notación flecha de Knuth como:

${\displaystyle H_{4}(a,b)=a\uparrow \uparrow {b}\,\!,}$

${\displaystyle H_{5}(a,b)=a\uparrow \uparrow \uparrow {b}\,\!,}$

...

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ para }}n\geq 3\,\!,}$

...

La notación de Knuth puede ser extendida a los índices negativos ≥ -2 de modo tal que esté de acuerdo con toda la sucesión de hiperoperaciones, excepto por el retraso en la indización:

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ para }}n\geq 0.\,\!}$

Las hiperoperaciones por lo tanto pueden ser vistas como una respuesta a la pregunta «¿qué es lo siguiente?» en la sucesión: sucesor, adición, multiplicación, potenciación, y así sucesivamente. Tomando nota de que:

• ${\displaystyle a+b=(a+(b-1))+1}$
• ${\displaystyle a\cdot b=a+(a\cdot (b-1))}$
• ${\displaystyle a^{b}=a\cdot (a^{(b-1)})}$
• ${\displaystyle a\uparrow \uparrow b=a^{a\uparrow \uparrow {(b-1)}}}$

la relación entre las operaciones aritméticas básicas se ilustra, permitiendo que la mayor de las operaciones sea definida de forma natural, como se muestra anteriormente. Los parámetros de la jerarquía de hiperoperaciones se refieren a veces por el análogo de la potenciación;^[14]​ así, a es la base, b es el exponente (o hiperexponente),^[12]​ y n es el rango (o grado).^[6]​ En general, ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$ puede leerse como "la b-ésima n-ación de a", de modo que ${\displaystyle H_{4}(7,9)}$ se lee como "la 9.ª tetración de 7", y ${\displaystyle H_{123}(456,789)}$ se lee como "la 789.ª 123-ación de 456".

En términos coloquiales, las hiperoperaciones son maneras de componer números que aumentan en un crecimiento basado en la repetición de la anterior hiperoperación. Los conceptos de sucesor, adición, multiplicación y potenciación son todos hiperoperaciones; el sucesor de operación (producción de x+1 en x) es el más primitivo, el operador especifica el número de veces que 1 se añade a sí mismo para producir un valor final, la multiplicación especifica el número de veces que un número se añade a sí mismo, y la exponenciación se refiere al número de veces que un número se multiplica por sí mismo.

Una forma alternativa de escribir hiperoperaciones es la notación compacta ${\displaystyle a[n]b}$ para ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$. En esta notación, la exponenciación se denota ${\displaystyle a[3]b=a^{b}}$, la tetración se denota ${\displaystyle a[4]b}$ (de modo que ${\displaystyle a[4]3=a^{a^{a}}}$), la pentación se denota ${\displaystyle a[5]b}$, y así sucesivamente. Las hiperoperaciones también pueden expresarse usando la notación flecha de Knuth. En esta notación, ${\displaystyle a\uparrow b}$ representa la función de exponenciación ${\displaystyle a^{b}}$, ${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$ representa la tetración, ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$ o ${\displaystyle a\uparrow ^{3}b}$ representa la pentación ${\displaystyle a[5]b}$, y más generalmente ${\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b}$ para ${\displaystyle n\geq 0.}$. Otra alternativa es la notación de flechas encadenadas de Conway. En esta notación, se tiene ${\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b=a\rightarrow b\rightarrow n-2}$, de modo que (por ejemplo) ${\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3}$.^[15]​

Esta es una lista de las primeras siete (0 a 6) hiperoperaciones (obsérvese que en este artículo, se define 0⁰ como 1).

n	Operación Hn(a, b)	Definición	Nombres	Dominio
0	${\displaystyle b+1}$ o bien ${\displaystyle a[0]b}$	${\displaystyle \underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de 1}}}+1}$	hiper0, incremento, sucesor, «ceración»	arbitrario
1	${\displaystyle a+b}$ o bien ${\displaystyle a[1]b}$	${\displaystyle a+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de 1}}}}$	hiper1, adición	arbitrario
2	${\displaystyle a\times {b}}$ o bien ${\displaystyle a[2]b}$	${\displaystyle \underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de }}a}}$	hiper2, multiplicación	arbitrario
3	${\displaystyle a^{b}}$ o bien ${\displaystyle a[3]b}$ o bien ${\displaystyle a\uparrow b}$	${\displaystyle \underbrace {a\times a\times a\times \;\cdots \;\times a\times a\times a} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de }}a}}$	hiper3, potenciación	b real, con algunas extensiones multivaluadas a números complejos
4	${\displaystyle ^{b}a}$ o bien ${\displaystyle a[4]b}$ o bien ${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$	${\displaystyle \underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de }}a}}$	hiper4, tetración	a ≥ 0 , b es un entero ≥ −1[nb 2]​ (Con algunas extensiones propuestas)
5	${\displaystyle _{b}a}$ o bien ${\displaystyle a[5]b}$ o bien ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$	${\displaystyle \underbrace {a[4](a[4](a[4](\cdots [4](a[4](a[4]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de }}a}}$	hiper5, pentación	a, b enteros ≥ −1[nb 2]​
6	${\displaystyle a[6]b}$ o bien ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}$	${\displaystyle \underbrace {a[5](a[5](a[5](\cdots [5](a[5](a[5]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de }}a}}$	hiper6, hexación	a, b enteros ≥ −1[nb 2]​

Hn(0, b) = b + 1, cuando n = 0 b, cuando n = 1 0, cuando n = 2 1, cuando n = 3 y b = 0[nb 3]​ 0, cuando n = 3 y b > 0[nb 3]​ 1, cuando n > 3 y b es par (incluido el 0) 0, cuando n > 3 y b es impar Hn(1, b) = b, cuando n = 2 1, cuando n ≥ 3 Hn(a, 0) = 0, cuando n = 2 1, cuando n = 0 o n ≥ 3 a, cuando n = 1

Hn(a, 1) = 2, cuando n = 0 a + 1, cuando n = 1 a, cuando n ≥ 2 Hn(a, a) = Hn+1(a, 2), cuando n ≥ 1 Hn(a, −1) =[nb 2]​ 0, cuando n = 0 o n ≥ 4 a − 1, cuando n = 1 −a, cuando n = 2 1/a, cuando n = 3 Hn(2, 2) = 3, cuando n = 0 4, cuando n ≥ 1, fácilmente demostrable recursivamente.

Uno de los primeros análisis sobre hiperoperaciones fue el de Albert Bennett^[6]​ en 1914, que desarrollaron algunos casos de la teoría de la conmutativa de hiperoperaciones (véase hiperoperaciones conmutativas a continuación). Unos 12 años más tarde, Wilhelm Ackermann definió la función ${\displaystyle \phi (a,b,n)\,\!}$^[16]​ lo que de alguna manera se asemeja a la sucesión de hiperoperaciones.

En su artículo publicado en el año 1947,^[5]​ Reuben Goodstein introdujo la sucesión específica de las operaciones que ahora se llaman hiperoperaciones, y sugirió también los nombres griegos de tetración, pentación, etc., para la ampliación de las operaciones más allá de la potenciación (ya que se corresponden con los índices 4, 5, etc.). Como una función de tres argumentos, por ejemplo, ${\displaystyle G(n,a,b)=H_{n}(a,b)}$, la sucesión de hiperoperaciones como un todo, es vista como una versión de la función de Ackermann original ${\displaystyle \phi (a,b,n)\,\!}$ — que es recursiva, pero no primitiva recursiva — fue modificada por Goodstein para incorporar la función primitiva sucesor, junto con las otras tres operaciones básicas de la aritmética (adición, multiplicación y potenciación), y para hacer más fluida la extensión de estas operaciones más allá de la potenciación.

La función de Ackermann original de tres argumentos ${\displaystyle \phi \,\!}$ utiliza la misma regla de recursividad que la versión de Goodstein (es decir, la hiperoperación secuencia), pero difiere de la misma de dos maneras. En primer lugar, ${\displaystyle \phi (a,b,n)\,\!}$ se define como una sucesión de operaciones a partir de la suma (n = 0) en lugar de la función sucesor, y asignó sus propios índices a la multiplicación (n = 1), la potenciación (n = 2), y así sucesivamente. En segundo lugar, las condiciones iniciales de ${\displaystyle \phi \,\!}$ resultan en ${\displaystyle \phi (a,b,3)=a\uparrow \uparrow (b+1)\,\!}$, así se distinguen de las hiperoperaciones más allá de la potenciación.^[7]​^[17]​^[18]​ La importancia de la b + 1 en la expresión anterior es que ${\displaystyle \phi (a,b,3)\,\!}$ = ${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}\,\!}$, donde b cuenta el número de operadores (potenciaciones), en vez de contar el número de operandos (a) como la b en ${\displaystyle a\uparrow \uparrow b\,\!}$, y así sucesivamente para el más alto nivel de las operaciones. (véase el artículo función de Ackermann para obtener más detalles.)

Esta es una lista de notaciones que se han utilizado para las hiperoperaciones.

Nombre	Notación equivalente a ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$	Comentario
Notación flecha de Knuth	${\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b\,\!}$	Usada por Knuth[19]​ (para n ≥ 3), y puede encontrarse en varios textos de referencia.[20]​[21]​
Notación de Goodstein	${\displaystyle G(n,a,b)\,\!}$	Usada por Reuben Goodstein.[5]​
Función de Ackermann original	${\displaystyle {\begin{matrix}\phi (a,b,n-1)\ {\text{ para }}1\leq n\leq 3\\\phi (a,b-1,n-1)\ {\text{ para }}n\geq 4\end{matrix}}\,\!}$	Usada por Wilhelm Ackermann (para n ≥ 1)[16]​
Función de Ackermann–Peter	${\displaystyle A(n,b-3)+3\ {\text{para }}a=2\,\!}$	Corresponde a hiperoperaciones de base 2 (a = 2)
Notación de Nambiar	${\displaystyle a\otimes ^{n-1}b\,\!}$	Usada por Nambiar (para n ≥ 1)[22]​
Notación caja	${\displaystyle a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b\,\!}$	Usada por Rubtsov y Romerio.[13]​[14]​
Notación de superíndice	${\displaystyle a{}^{(n)}b\,\!}$	Usada por Robert Munafo.[10]​
Notación de subíndice (para lower hyperoperations)	${\displaystyle a{}_{(n)}b\,\!}$	Usado por Robert Munafo[10]​ para las hiperoperaciones inferiores.
Notación de operadores (para "operaciones extendidas")	${\displaystyle aO_{n-1}b\,\!}$	Usado para las hiperoperaciones inferiores por John Donner y Alfred Tarski (para n ≥ 1).[23]​
Notación de corchetes	${\displaystyle a[n]b\,\!}$	Se usa en muchos foros de internet, conveniente para ASCII.
Notación de flecha encadenada de Conway	${\displaystyle a\to b\to (n-2)}$	Usada por John Horton Conway (para n ≥ 3)
Función de Bowers	${\displaystyle \{a,b,n,1\}}$	Usada por Jonathan Bowers (para n ≥ 1)

Para condiciones iniciales diferentes o reglas de recursión diferentes, pueden resultar operaciones muy diferentes. Algunos matemáticos se refieren a todas esas variantes como ejemplos de hiperoperaciones.

En sentido general, una jerarquía de hiperoperaciones ${\displaystyle (S,\,I,\,F)}$ es una familia ${\displaystyle (F_{n})_{n\in I}}$ de operaciones binarias en ${\displaystyle S}$, indexada por un conjunto ${\displaystyle I}$, tal que existe ${\displaystyle i,j,k\in I}$ donde

• ${\displaystyle F_{i}(a,b)=a+b}$ (adición),
• ${\displaystyle F_{j}(a,b)=ab}$ (multiplicación), y
• ${\displaystyle F_{k}(a,b)=a^{b}}$ (potenciación).

Además, si se relaja la última condición (es decir, no hay potenciación), entonces también pueden incluirse las hiperoperaciones conmutativas, descritas más abajo. Aunque se pueda enumerar cada hiperoperación explícitamente, generalmente no es el caso. La mayoría de las variantes incluyen únicamente la funciones sucesoras (o adición) o adición) en su definición y redefinen la multiplicación (y más allá), sobre la base de una sola regla de recursión que se aplica a todas las categorías. Puesto que esto forma parte de la definición de la jerarquía, y no una propiedad de la jerarquía en sí, es difícil de definir formalmente.

En 1928, Wilhelm Ackermann definió una función de 3 argumentos ${\displaystyle \phi (a,b,n)}$ que evolucionó gradualmente hacia una función de 2 argumentos que se conoce como la función de Ackermann. La versión original de la función de Ackermann ${\displaystyle \phi }$ fue menos similar a las modernas hiperoperaciones, debido a sus condiciones iniciales: empezar con ${\displaystyle \phi (a,0,n)=a}$ para todo n > 2. Él también asignó la adición para n = 0, la multiplicación para n = 1 y potenciación para n = 2, por lo que las condiciones iniciales producen operaciones muy diferentes para la tetración y más allá.

n	Operación	Comentario
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=a+b}$
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a\cdot b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a^{b}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a\uparrow \uparrow (b+1)}$	Una manera de desplazar la tetración. La iteración de esta operación es diferente de la iteración de tetración.
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=(x\mapsto a\uparrow \uparrow (x+1))^{b}(a)}$	No debe confundirse con pentación.

Otra condición inicial que se ha utilizado es ${\displaystyle A(0,b)=2b+1}$ (donde la base es constante ${\displaystyle a=2}$), debida a Rózsa Péter, que no forma una jerarquía .

En 1984, C. W. Clenshaw y F. W. J. Olver iniciaron el debate sobre el uso de hiperoperaciones para prevenir desbordamientos computacionales en cálculos con coma flotante.^[24]​ Desde entonces, muchos otros autores^[25]​^[26]​^[27]​ han renovado su interés en la aplicación de hiperoperaciones a la representación con coma flotante (dado que H_n(a, b) están definidas para b = -1). Al analizar la tetración, Clenshaw y otros asumieron la condición inicial ${\displaystyle F_{n}(a,0)=0}$, que crea otra jerarquía de hiperoperaciones. Al igual que en la variante anterior, la cuarta operación es muy similar a la tetración, pero desplazada en uno.

n	Operación	Comentario
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=b+1}$
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=a[4](b-1)}$	Una forma desplazada de tetración. La iteración de esta operación es muy diferente a la de la tetración iterada.
5	${\displaystyle F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto a[4](x-1)\right)^{b}(0)=0{\text{if }}a>0}$	No confundir con la pentación.

Una alternativa para estas hiperoperaciones se obtiene mediante la evaluación de izquierda a derecha.^[28]​ A partir de

${\displaystyle {\begin{aligned}a+b&=(a+(b-1))+1\\a\cdot b&=(a\cdot (b-1))+a\\a^{b}&=\left(a^{(b-1)}\right)\cdot a\end{aligned}}}$

define (con ° o subíndice)

${\displaystyle a_{(n)}b=\left(a_{(n)}(b-1)\right)_{(n-1)}a}$

con

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{(1)}b&=a+b\\a_{(2)}0&=0\\a_{(n)}1&=a&{\text{para }}n>2\\\end{aligned}}}$

Esto fue extendido a los números ordinales por Doner y Tarski.^[29]​ Tienen índice 0 en lugar de índice 1 para la suma. Extienden las fórmulas para manejar también cada ordinal sin predecesor inmediato, reemplazando b − 1 en lo anterior con el supremo sobre todos los ordinales menores que b, y tratan n de manera similar. Se usan letras griegas para indicar que son números ordinales, no simplemente números de conteo.

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha O_{0}\beta &=\alpha +\beta \\\alpha O_{\nu }\beta &=\sup \limits _{\delta <\beta ,~\mu <\nu }(\alpha O_{\nu }\delta )O_{\mu }\alpha \,.\end{aligned}}}$

Con estas definiciones, ⁠${\displaystyle O_{0}}$⁠ es suma, ⁠${\displaystyle O_{1}}$⁠ es multiplicación y ⁠${\displaystyle O_{2}}$⁠ es exponenciación. Sin embargo, ⁠${\displaystyle O_{3}}$⁠ no forma la torre de potencias evidente con la hiperoperación correspondiente (no inferior).^[30]​^{[nb 4]}​ En cambio,

${\displaystyle \alpha O_{3}(1+\beta )=\alpha ^{\left(\alpha ^{\beta }\right)}.}$

n	Operación	Comentario
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=a+1}$	Incremento, sucesor, ceración
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=a^{\left(a^{(b-1)}\right)}}$	No confundir con tetración.
5	${\displaystyle F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto x^{x^{(a-1)}}\right)^{b-1}(a)}$	No confundir con pentación. Similar a la tetración.

Las hiperoperaciones conmutativas fueron analizadas por Albert Bennett ya en 1914,^[6]​ lo cual es, posiblemente, la primera observación acerca de cualquier sucesión de hiperoperaciones. Las hiperoperaciones conmutativas son definidos por la regla de la recursividad

${\displaystyle F_{n+1}(a,b)=\exp(F_{n}(\ln(a),\ln(b)))}$

que es simétrica en a y b, es decir, todos las hiperoperaciones son conmutativas. Esta secuencia no contiene potenciación, y así no se forma de una jerarquía de hiperoperaciones.

n	Operación	Comentario
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=\ln(e^{a}+e^{b})}$	Máximo suave (LogSumExp)
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}$	Esto es debido a las propiedades de los logaritmos.
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{\ln(b)}=e^{\ln(a)\ln(b)}}$	Una forma conmutativa de potenciación. En un cuerpo finito, esta es la operación de intercambio de claves de Diffie-Hellman.
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=e^{e^{\ln(\ln(a))\ln(\ln(b))}}}$	No debe confundirse con tetración.

Reuben Goodstein^[31]​ utilizó la secuencia de hiperoperadores para crear sistemas de numeración para los enteros no negativos. La denominada representación hereditaria completa del entero n, en el nivel k y base b, se puede expresar de la siguiente manera utilizando únicamente los primeros k hiperoperadores y empleando como dígitos solo 0, 1, ..., b - 1, junto con la base b misma:

• Para 0 = n = b ≤ 1, n se representa simplemente mediante el dígito correspondiente.

• Para n > b ≤ 1, la representación de n se encuentra recursivamente, representando primero n en la forma : b [k] x = _k [k ≤ 1] 1] x_{k − 1} [k - 2] ... [2] x₂ [1] x₁

donde x_k, ..., x₁ son los enteros más grandes que satisfacen (a su vez)

b [k] x_k = n

b [k] x_k [k - 1] x_{k − 1} = n

...

b [k] x_k [k - 1] [1] x_{k − 1} [k - 2] ... [2] x₂ [1] x₁ = n

Cualquier x_i que exceda b - 1 se reexpresa de la misma manera, y así sucesivamente, repitiendo este procedimiento hasta que la forma resultante contenga solo los dígitos 0, 1, ..., b - 1, junto con la base b.

Se pueden evitar los paréntesis innecesarios dando mayor precedencia a los operadores de nivel superior en el orden de evaluación; por lo tanto:

Las representaciones de nivel 1 tienen la forma b[1] X, donde X también tiene esta forma;

Las representaciones de nivel 2 tienen la forma b[2] X[1] Y, donde X, Y también tienen esta forma;

Las representaciones de nivel 3 tienen la forma b[3] X[2] Y[1] Z, donde X, Y y Z también tienen esta forma;

Las representaciones de nivel 4 tienen la forma b[4] X[3] Y[2] Z[1] W, donde X, Y, Z y W también tienen esta forma;

y así sucesivamente.

En este tipo de representación hereditaria en base b, la base misma aparece en las expresiones, así como los dígitos del conjunto 0, 1, ..., b - 1. Esto se compara con la representación ordinaria en base 2 cuando esta se escribe en términos de la base b. p. ej., en notación ordinaria de base 2, 6 = (110)₂ = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0, mientras que la representación hereditaria de nivel 3 en base 2 es 6 = 2 [3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0). Las representaciones hereditarias se pueden abreviar omitiendo cualquier instancia de [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1, etc.; Por ejemplo, la representación en base 2 de nivel 3 del 6 se abrevia como 2 [3] 2 [1] 2.

Ejemplos: Las representaciones únicas en base 2 del número 266, en los niveles 1, 2, 3, 4 y 5, son las siguientes:

Nivel 1: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (con 133 doses)

Nivel 2: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1)) [1] 1)

Nivel 3: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2

Nivel 4: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2

Nivel 5: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2

Las definiciones de la secuencia de hiperoperaciones se pueden transponer naturalmente a sistemas de reescritura de términos (SRT).

La definición básica de la secuencia de hiperoperaciones corresponde a las reglas de reducción:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{(r1)}}&H(0,a,b)&\rightarrow &S(b)\\{\text{(r2)}}&H(S(0),a,0)&\rightarrow &a\\{\text{(r3)}}&H(S(S(0)),a,0)&\rightarrow &0\\{\text{(r4)}}&H(S(S(S(n))),a,0)&\rightarrow &S(0)\\{\text{(r5)}}&H(S(n),a,S(b))&\rightarrow &H(n,a,H(S(n),a,b))\end{array}}}$

Para calcular ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$ se puede usar una pila, que inicialmente contiene los elementos ${\displaystyle \langle n,a,b\rangle }$.

Luego, repetidamente hasta que ya no sea posible, se extraen tres elementos y se reemplazan según las reglas:^{[nb 5]}​

${\displaystyle {\begin{array}{lllllllll}{\text{(r1)}}&0&,&a&,&b&\rightarrow &(b+1)\\{\text{(r2)}}&1&,&a&,&0&\rightarrow &a\\{\text{(r3)}}&2&,&a&,&0&\rightarrow &0\\{\text{(r4)}}&(n+3)&,&a&,&0&\rightarrow &1\\{\text{(r5)}}&(n+1)&,&a&,&(b+1)&\rightarrow &n&,&a&,&(n+1)&,&a&,&b\end{array}}}$

Esquemáticamente, partiendo de ${\displaystyle \langle n,a,b\rangle }$:

WHILE stackLength <> 1
{
   POP 3 elementos;
   PUSH 1 o 5 elementos de acuerdo con las reglas r1, r2, r3, r4, r5;
}

Ejemplo

Calcular ${\displaystyle H_{2}(2,2)\rightarrow _{*}4}$.^[32]​

La secuencia de reducción es^{[nb 5]}​^{[nb 6]}​

${\displaystyle {\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),S(S(0)))}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),S(0))}})}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(S(0),S(S(0)),H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),0)}}))}$

${\displaystyle \rightarrow _{r3}H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),0)}})}$

${\displaystyle \rightarrow _{r2}{\underline {H(S(0),S(S(0)),S(S(0)))}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(0,S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),S(0))}})}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(0,S(S(0)),H(0,S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),0)}}))}$

${\displaystyle \rightarrow _{r2}H(0,S(S(0)),{\underline {H(0,S(S(0)),S(S(0)))}})}$

${\displaystyle \rightarrow _{r1}{\underline {H(0,S(S(0)),S(S(S(0))))}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r1}S(S(S(S(0))))}$

Al implementarse con una pila, con la entrada ${\displaystyle \langle 2,2,2\rangle }$

the stack configurations	represent the equations
${\displaystyle {\underline {2,2,2}}}$	${\displaystyle H_{2}(2,2)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}1,2,{\underline {2,2,1}}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,H_{2}(2,1))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}1,2,1,2,{\underline {2,2,0}}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,H_{1}(2,H_{2}(2,0)))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r3}1,2,{\underline {1,2,0}}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,H_{1}(2,0))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r2}{\underline {1,2,2}}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,2)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}0,2,{\underline {1,2,1}}}$	${\displaystyle =H_{0}(2,H_{1}(2,1))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}0,2,0,2,{\underline {1,2,0}}}$	${\displaystyle =H_{0}(2,H_{0}(2,H_{1}(2,0)))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r2}0,2,{\underline {0,2,2}}}$	${\displaystyle =H_{0}(2,H_{0}(2,2))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r1}{\underline {0,2,3}}}$	${\displaystyle =H_{0}(2,3)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r1}4}$	${\displaystyle =4}$

La definición mediante iteración conduce a un conjunto diferente de reglas de reducción:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{(r6)}}&H(S(0),0,a,b)&\rightarrow &S(b)\\{\text{(r7)}}&H(S(0),S(0),a,0)&\rightarrow &a\\{\text{(r8)}}&H(S(0),S(S(0)),a,0)&\rightarrow &0\\{\text{(r9)}}&H(S(0),S(S(S(n))),a,0)&\rightarrow &S(0)\\{\text{(r10)}}&H(S(0),S(n),a,S(b))&\rightarrow &H(S(b),n,a,H(S(0),S(n),a,0))\\{\text{(r11)}}&H(S(S(x)),n,a,b)&\rightarrow &H(S(0),n,a,H(S(x),n,a,b))\end{array}}}$

Como la iteración es asociativa, en lugar de la regla r11 se puede definir:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{(r12)}}&H(S(S(x)),n,a,b)&\rightarrow &H(S(x),n,a,H(S(0),n,a,b))\end{array}}}$

Al igual que en la sección anterior, el cálculo de ${\displaystyle H_{n}(a,b)=H_{n}^{1}(a,b)}$ se puede implementar con una pila.

Inicialmente, la pila contiene los cuatro elementos ${\displaystyle \langle 1,n,a,b\rangle }$.

Luego, hasta su terminación, se extraen cuatro elementos y se reemplazan según las reglas^{[nb 5]}​:

${\displaystyle {\begin{array}{lllllllll}{\text{(r6)}}&1&,0&,a&,b&\rightarrow &(b+1)\\{\text{(r7)}}&1&,1&,a&,0&\rightarrow &a\\{\text{(r8)}}&1&,2&,a&,0&\rightarrow &0\\{\text{(r9)}}&1&,(n+3)&,a&,0&\rightarrow &1\\{\text{(r10)}}&1&,(n+1)&,a&,(b+1)&\rightarrow &(b+1)&,n&,a&,1&,(n+1)&,a&,0\\{\text{(r11)}}&(x+2)&,n&,a&,b&\rightarrow &1&,n&,a&,(x+1)&,n&,a&,b\end{array}}}$

Esquemáticamente, partiendo de ${\displaystyle \langle 1,n,a,b\rangle }$:

WHILE stackLength <> 1
{
   POP 4 elementos;
   PUSH 1 o 7 elementos de acuerdo con las reglas r6, r7, r8, r9, r10, r11;
}

Ejemplo

Calcula ${\displaystyle H_{3}(0,3)\rightarrow _{*}0}$.

Con ${\displaystyle \langle 1,3,0,3\rangle }$ como entrada, las configuraciones sucesivas de la pila son:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underline {1,3,0,3}}\rightarrow _{r10}3,2,0,{\underline {1,3,0,0}}\rightarrow _{r9}{\underline {3,2,0,1}}\rightarrow _{r11}1,2,0,{\underline {2,2,0,1}}\rightarrow _{r11}1,2,0,1,2,0,{\underline {1,2,0,1}}\\&\rightarrow _{r10}1,2,0,1,2,0,1,1,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}1,2,0,1,2,0,{\underline {1,1,0,0}}\rightarrow _{r7}1,2,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}0.\end{aligned}}}$

Las igualdades correspondientes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}&H_{3}(0,3)=H_{2}^{3}(0,H_{3}(0,0))=H_{2}^{3}(0,1)=H_{2}(0,H_{2}^{2}(0,1))=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{2}(0,1))\\&=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{1}(0,H_{2}(0,0))))=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{1}(0,0)))=H_{2}(0,H_{2}(0,0))=H_{2}(0,0)=0.\end{aligned}}}$

Al reemplazar la regla de reducción r11 por la regla r12, la pila se transforma según:

${\displaystyle {\begin{array}{lllllllll}{\text{(r12)}}&(x+2)&,n&,a&,b&\rightarrow &(x+1)&,n&,a&,1&,n&,a&,b\end{array}}}$

Las configuraciones sucesivas de la pila serán entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underline {1,3,0,3}}\rightarrow _{r10}3,2,0,{\underline {1,3,0,0}}\rightarrow _{r9}{\underline {3,2,0,1}}\rightarrow _{r12}2,2,0,{\underline {1,2,0,1}}\rightarrow _{r10}2,2,0,1,1,0,{\underline {1,2,0,0}}\\&\rightarrow _{r8}2,2,0,{\underline {1,1,0,0}}\rightarrow _{r7}{\underline {2,2,0,0}}\rightarrow _{r12}1,2,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}0\end{aligned}}}$

Las igualdades correspondientes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}&H_{3}(0,3)=H_{2}^{3}(0,H_{3}(0,0))=H_{2}^{3}(0,1)=H_{2}^{2}(0,H_{2}(0,1))=H_{2}^{2}(0,H_{1}(0,H_{2}(0,0)))\\&=H_{2}^{2}(0,H_{1}(0,0))=H_{2}^{2}(0,0)=H_{2}(0,H_{2}(0,0))=H_{2}(0,0)=0\end{aligned}}}$

Observaciones

• ${\displaystyle H_{3}(0,3)=0}$ es un caso especial; véase casos especiales más arriba.^{[nb 3]}​
• El cálculo de ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$ según las reglas r6 - r10, r11 es altamente recursivo. El problema radica en el orden de ejecución de la iteración: ${\displaystyle H^{n}(a,b)=H(a,H^{n-1}(a,b))}$. El primer ${\displaystyle H}$ desaparece solo después de que se haya desplegado toda la secuencia. Por ejemplo, ${\displaystyle H_{4}(2,4)}$ converge a 65536 en 2863311767 pasos; la profundidad máxima de recursión^{[nb 7]}​ es 65534.
• El cálculo según las reglas r6 - r10, r12 es más eficiente en este sentido. La implementación de la iteración ${\displaystyle H^{n}(a,b)}$ como ${\displaystyle H^{n-1}(a,H(a,b))}$ imita la ejecución repetida de un procedimiento H.^{[nb 8]}​ La profundidad de recursión, (n+1), coincide con el anidamiento del bucle. Meyer y Ritchie (1967) formalizó esta correspondencia. El cálculo de ${\displaystyle H_{4}(2,4)}$ según las reglas r6-r10, r12 también necesita 2863311767 pasos para converger en 65536, pero la profundidad máxima de recursión es solo 5, ya que la tetración es el quinto operador en la secuencia de hiperoperaciones.
• Las consideraciones anteriores se refieren únicamente a la profundidad de recursión. Cualquiera de las formas de iterar conduce al mismo número de pasos de reducción, que involucran las mismas reglas (cuando las reglas r11 y r12 se consideran iguales). Como muestra el ejemplo, la reducción de ${\displaystyle H_{3}(0,3)}$ converge en 9 pasos: 1 X r7, 3 X r8, 1 X r9, 2 X r10, 2 X r11/r12. El modus iterandi solo afecta el orden en que se aplican las reglas de reducción.

• Categoría:Grandes números
• Grandes números
• Jerarquía de rápido crecimiento
• Función de Veblen

1. ↑ Sucesiones similares a la sucesión de hiperoperaciones han sido referidas históricamente de varias maneras, incluyendo: la función de Ackermann,^[1]​^[2]​ la jerarquía de Grzegorczyk^[3]​^[4]​ (que es más general), versión de Goodstein de la función de Ackermann,^[5]​ operación de n-ésimo grado,^[6]​ potenciación iterada de x con y,^[7]​ operaciones flecha,^[8]​ reihenalgebra^[9]​ e hiper-n.^[1]​^[9]​^[10]​^[11]​^[12]​
2. ↑ ^{a b c d} Sea x = a[n](-1).
3. ↑ ^{a b c} Para obtener más detalles, consúltese potencias de cero o cero elevado a cero.
4. ↑ La suma ordinal no es conmutativa; véase aritmética ordinal para más información.
5. ↑ ^{a b c} Esto establece la estrategia de paso más a la izquierda-más a la parte más interna.
6. ↑ En cada paso se reescribe el redex subrayado.
7. ↑ La profundidad máxima de recursión se refiere al número de niveles de activación de un procedimiento que existen durante la llamada más profunda del mismo.^[33]​
8. ↑ LOOP n TIMES DO H.

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