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En teoría de grupos, un grupo cíclico es aquel que puede ser generado por un solo elemento; es decir, hay un elemento a del grupo G (llamado "generador" de G), tal que todo elemento de G puede ser expresado como una potencia de a. Si la operación del grupo se denota aditivamente, se dirá que todo elemento de G se puede indicar como un múltiplo de a, para n entero.

En otras palabras, G es cíclico, con generador a, si G = { aⁿ | n ∈ Z }. Dado que un grupo generado por un elemento de G es, en sí mismo, un subgrupo de G, basta con demostrar que el único subgrupo de G que contiene a a es el mismo G para probar que éste es cíclico.

Por ejemplo, G = { e, g¹, g², g³, g⁴, g⁵ } es cíclico. De hecho, G es esencialmente igual (esto es, isomorfo) al grupo { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } bajo la operación de suma módulo 6. El isomorfismo se puede hallar fácilmente haciendo g^a→ a. Contrariamente a lo que sugiere la palabra "cíclico", es posible generar infinitos elementos y no formar nunca un ciclo real: es decir, que cada gⁿ sea distinto. Un grupo tal sería un grupo cíclico infinito, isomorfo al grupo Z de los enteros bajo la adición.

Salvo isomorfismos, existe exactamente un grupo cíclico para cada cantidad finita de elementos, y exactamente un grupo cíclico infinito. Por lo anterior, los grupos cíclicos son de algún modo los más simples, y han sido completamente clasificados.

Por esto, los grupos cíclicos normalmente se denotan simplemente por el grupo "canónico" al que son isomorfos: si el grupo es de orden n, para n entero, dicho grupo es el grupo Z_n de enteros { 0, ..., n-1 } bajo la adición módulo n. Si es infinito, éste es Z.

La notación Z_n comúnmente es evitada por teoristas de los números, puesto que puede ser confundida con la notación usual para los números p-ádicos. Una alternativa es usar la notación de grupo cociente, Z/nZ; otra posible solución es denotar la operación multiplicativamente, y representar el grupo C_n = { e, a¹, a², ..., a^n-1 }. Sin embargo, estas dos notaciones no son tan populares como Z_n.

Propiedades

Por lo dicho ya en la introducción, todo grupo cíclico es isomorfo a Z_n, o bien, a Z. Basta entonces con examinar dichos grupos para entender los grupos cíclicos en general. Dado un grupo cíclico G = <g> de orden n (donde n puede valer infinito), y dados a, b ∈ G, se tiene:

G es abeliano; es decir, su operación es conmutativa: ab = ba para cualesquiera a y b ∈ G. Esto es cierto, puesto que cualquier par de enteros a y b, a + b mód n = b + a mód n.
Si n < ∞, entonces gⁿ = e, puesto que n mód n = 0.
Si n = ∞, entonces el grupo tiene exactamente dos generadores: 1 y -1 en Z, y sus imágenes isomórficas en otros grupos cíclicos infinitos.
Todo subgrupo de G es cíclico. De hecho, para n finito, todo subgrupo de G es isomorfo a un Z_m, donde m es divisor de n; y si n es infinito, todo subgrupo de G corresponderá a un subgrupo mZ de Z (el cual es también isomorfo a Z), bajo el isomorfismo entre G y Z.

Los generadores de Z_n son los enteros que son primos relativos con n. El número de tales generadores se designa por φ(n), donde φ designa la función φ de Euler. En general, si d es un divisor de n, el número de elementos de Z_n de orden d es φ(d). El orden del elemento m es n / mcd(m,n).

Si p es primo, el único grupo con p elementos (salvo isomorfismos) es Z_p.

El producto directo de dos grupos cíclicos Z_n y Z_m es cíclico si y solo si m y n son primos entre sí; en tal caso, el grupo obtenido será isomorfo a Z_nm. Por ejemplo, Z₁₂ es isomorfo a Z₃×Z₄, pero no a Z₆×Z₂.

El teorema fundamental de los grupos abelianos afirma que todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo al producto directo de un número finito de grupos cíclicos.

Z_n y Z son también anillos conmutativos. Si n es un número primo, Z_n es un cuerpo finito, también denotado por F_n o GF(n). Cualquier otro cuerpo con n elementos es isomorfo al ya descrito.

Subgrupos

Todos los subgrupos y grupos cocientes de un grupo cíclico son, a su vez, cíclicos. En particular, los subgrupos de Z son de la forma mZ donde m ≥ 0 es un número entero. Todos éstos son diferentes, y salvo por el grupo trivial (con m=0) son todos isomorfos a Z. El retículo de subgrupos de Z es isomorfo al dual del retículo de números naturales ordenados por divisibilidad. Todos los grupos cocientes de Z son finitos, salvo por la excepción trivial Z/{0}. Para todo divisor positivo d de n, el grupo Z/nZ (isomorfo a Z_n, y algunas veces incluso tomado como definición de este) tiene exactamente un subgrupo de orden d, a saber, el generado por la clase residual de n/d; no hay más subgrupos de Z/nZ. El retículo de subgrupos es entonces isomorfo al de divisores de n, ordenados por divisibilidad (el cual es isomorfo a su propio dual).

En particular, un grupo cíclico es simple si y solo si su orden (el número de sus elementos) es primo.

Dado un grupo cíclico C de orden n, con generador g, el tamaño del subgrupo generado por g^k para un entero k será el mínimo entero positivo m tal que mk es múltiplo de n; fácilmente se puede demostrar que m = n/mcd(k,n). El índice del subgrupo generado por g^k (esto es, el tamaño del grupo cociente C/<g^k>) es, por lo tanto, mcd(k,n).

Este subgrupo cíclico del grupo G , generado por el elemento s, es siempre conmutativo aunque no lo sea el mismo grupo G.

Aplicación

Sea el conjunto B = {0, 1}, se establece en B la operación: 0+0 = 0; 0+1 = 1; 1+0 = 1; 1+ 1 =0; no es sino la adición módulo 2. Sea B^m = B×B×B× ...B m veces. Sean (x₁, x₂, ..., x_m), (y₁,y₂,...y_m) y sea x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂,...,x_m + y_m) luego B^m es un grupo de orden 2^m. Se aplica en la codificación de mensaje.^[1]