En matemáticas, y más específicamente en topología y análisis funcional, espacio pseudométrico es un concepto que generaliza el de espacio métrico, sustituyendo el concepto de distancia por el de pseudodistancia o pseudométrica, de tal forma que la pseudodistancia entre dos puntos distintos puede ser cero.[1]
Una pseudodistancia o, más generalmente, una familia de pseudodistancias determina en un conjunto una estructura uniforme. El espacio topológico resultante se denomina espacio de calibración o espacio gauge.
Reciprocamente, toda estructura uniforme puede ser inducida por una familia de pseudodistancias. En particular, una sola pseudodistancia es suficiente para determinar la estructura si y solo si existe un sistema fundamental de entornos numerable.
Un espacio pseudométrico ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} es un par formado por un conjunto X {\displaystyle X} y una función d : : --> X × × --> X ⟶ ⟶ --> R ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle d\colon X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}} (denominada semidistancia o pseudométrica), con valores reales no negativos, tal que para todo x , y , z ∈ ∈ --> X {\displaystyle x,y,z\in X} ,
De estas condiciones se deduce que la pseudodistancia no puede tomar valores negativos, ya que d ( x , y ) = 1 2 ( d ( x , y ) + d ( y , x ) ) ≥ ≥ --> 1 2 d ( x , x ) = 0 {\displaystyle d(x,y)={\tfrac {1}{2}}(d(x,y)+d(y,x))\geq {\tfrac {1}{2}}d(x,x)=0} .
Todo espacio métrico es un espacio pseudométrico. Sin embargo, en general, no se requiere que los puntos sean distinguibles; es decir, puede darse d ( x , y ) = 0 {\displaystyle d(x,y)=0} para diferentes valores x ≠ ≠ --> y {\displaystyle x\neq y} .
Utilizando pseudodistancias en lugar de distancias se pueden trasladar fácilmente a los espacios pseudométricos algunos conceptos definidos originalmente para espacios métricos, como el de acotación de conjuntos y funciones o el de continuidad uniforme.
La suma de una familia finita de pseudodistancias d i ; 1 ≤ ≤ --> i ≤ ≤ --> n {\displaystyle d_{i};\;1\leq i\leq n} en un conjunto X {\displaystyle X} es otra pseudodistancia d ( x , y ) = d 1 ( x , y ) + d 2 ( x , y ) + ⋯ ⋯ --> + d n ( x , y ) {\displaystyle d(x,y)=d_{1}(x,y)+d_{2}(x,y)+\dotsb +d_{n}(x,y)} .
A partir de una familia numerable de pseudodistancias d i ; i ∈ ∈ --> N {\displaystyle d_{i};\;i\in \mathbb {N} } definidas en el mismo conjunto X {\displaystyle X} puede definirse una distancia por medio de
La topología pseudométrica es la topología inducida por las bolas abiertas
que forman una base para la topología.[2]
Se dice que un espacio topológico es pseudometrizable si puede dotarse de una pseudodistancia tal que la topología pseudométrica coincide con la dada.
La diferencia entre pseudodistancias y distancias es esencialmente topológica. Una pseudodistancia es una distancia si y solo si la topología que genera es de Kolmogorov (es decir, puntos diferentes son topológicamente distinguibles).
Sea X {\displaystyle X} un conjunto dotado de una pseudodistancia d {\displaystyle d} . El conjunto F {\displaystyle F} de imágenes inversas por d de intervalos de la forma [0,a), es un sistema fundamental de entourages para una estructura uniforme sobre X {\displaystyle X}
Se dice que dicha estructura está definida o determinada por la pseudodistancia d {\displaystyle d} .
Igualmente, una familia ( d i ) i ∈ ∈ --> I {\displaystyle (d_{i})_{i\in I}} de pseudodistancias en un conjunto X {\displaystyle X} , determina una estructura uniforme que es el supremo de las estructuras definidas por cada una de ellas. Es decir, la intersección de todas las estructuras uniformes definidas en dicho conjunto X {\displaystyle X} que contengan todas las estructuras individuales.
Sea X {\displaystyle X} un espacio uniforme en el que se puede identificar un sistema fundamental de entourages ( N k ) k ∈ ∈ --> N {\displaystyle (N_{k})_{k\in \mathbb {N} }} numerable. Se puede demostrar la existencia de otro sistema fundamental de entourages simétricos ( S k ) k ∈ ∈ --> N {\displaystyle (S_{k})_{k\in \mathbb {N} }} cumpliendo S 0 ⊆ ⊆ --> N 0 {\displaystyle S_{0}\subseteq N_{0}} y S k + 1 3 ⊆ ⊆ --> S k ∩ ∩ --> N k {\displaystyle S_{k+1}^{3}\subseteq S_{k}\cap N_{k}} , donde S 3 = {\displaystyle S^{3}=} S∘S∘S representa un encadenamiento de entourages.
Para construir una pseudodistancia, partimos de la función g : : --> X × × --> X ⟶ ⟶ --> R ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle g\colon X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}} , definida por
Esta función es simétrica y se anula en la diagonal, pero no cumple necesariamente la desigualdad triangular. Para obtener el resultado deseado se utiliza el siguiente procedimiento.
Sea C el conjunto de todas las secuencias finitas de puntos de X {\displaystyle X} que comienzan en x {\displaystyle x} y terminan en y {\displaystyle y} . Entonces podemos definir una pseudodistancia en X {\displaystyle X} mediante
La estructura uniforme determinada por esta pseudodistancia es la estructura uniforme original.
Este resultado puede generalizarse. Dada cualquier estructura uniforme en un conjunto X {\displaystyle X} , es posible identificar una familia de pseudométricas que, a su vez, determine la estructura uniforme de partida.[3]
Se denomina identificación métrica a la relación de equivalencia definida por x ∼ ∼ --> y {\displaystyle x\sim y} si d ( x , y ) = 0 {\displaystyle d(x,y)=0} .
Sean
Entonces d ∗ ∗ --> {\displaystyle d^{*}} es una métrica en X ∗ ∗ --> {\displaystyle X^{*}} y ( X ∗ ∗ --> , d ∗ ∗ --> ) {\displaystyle (X^{*},d^{*})} un espacio métrico bien definido.[4]
La identificación métrica preserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto A ⊂ ⊂ --> X {\displaystyle A\subset X} es abierto (o cerrado) en ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} si y solo si π π --> ( A ) = [ A ] {\displaystyle \pi (A)=[A]} es abierto (o cerrado) en ( X ∗ ∗ --> , d ∗ ∗ --> ) {\displaystyle (X^{*},d^{*})} y A es saturado, siendo π π --> : : --> X → → --> X ∗ ∗ --> {\displaystyle \pi \colon X\to X^{*}} la proyección canónica que hace corresponder a cada punto de X {\displaystyle X} la clase de equivalencia que lo contiene.
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