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Las demostraciones matemáticas que indican el famoso resultado de que el número racional ²²⁄₇ es superior a $π$ se remontan a la Antigüedad. Una de estas demostraciones, desarrollada más recientemente pero que requiere solo técnicas elementales del cálculo, ha llamado la atención en las matemáticas modernas debido a su belleza matemática y sus conexiones con la teoría de las aproximaciones diofánticas. Stephen Lucas califica esta proposición de "uno de los resultados más hermosos relacionados con la aproximación de π ".^[1]

El objetivo de esta demostración no es en esencia convencer al lector de que ²²⁄₇ es, efectivamente, más grande qué π. Existen métodos de cálculo sistemático que obtienen el valor de $π$ . Lo que sigue es una demostración matemática moderna que demuestra que 22/7 > $π$ , utilizando solamente las técnicas elementales del cálculo. Su sencillez y su elegancia resaltan vínculos con la teoría de las aproximaciones diofánticas.

Antecedentes

²²⁄₇ es una aproximación diofántica ampliamente utilizada de $π$ . En efecto, se puede ver fácilmente, al expandir decimalmente qué :

{\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3,{\overline {142\,857}},\\\pi \,&=3,141\,592\,65\ldots \end{aligned}}

Esta aproximación era conocida desde la antigüedad. Arquímedes fue el primero que escribió que había demostrado que ²²⁄₇ sobrepasaba a $π$ durante el siglo III a. C.^[2] .. pero utilizaba esta aproximación.

Su prueba consistía en demostrar que ²²⁄₇ es mayor que la razón entre el perímetro de un polígono regular con 96 lados y el diámetro del círculo que lo circunscribe.

Una mejor aproximación racional de $π$ es dado por la fracción ³⁵⁵⁄₁₁₃.

Demostración

Una demostración moderna de esta desigualdad puede hacerse por el cálculo de la integral.

0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x={\frac {22}{7}}-\pi .

Por lo tanto, ²²⁄₇ > $π$ .

El número $\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x$ es estrictamente positivo porque la función $x\mapsto {\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}$ es continua y estrictamente positiva sobre el intervalo $]0 ; 1[$ .

Queda por demostrar que la integral se evalúa para valor la cantidad deseada:

{\begin{aligned}0&<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx&{\text{expansión de los términos del numerador}}\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx&{\text{ utilizar división de polinomios largos}}&\\[8pt]&=\left.\left({\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\right)\,\right|_{0}^{1}&{\text{integración definida}}\\[6pt]&={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \quad &{\text{con }}\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}{\text{ y }}\arctan(0)=0\\[8pt]&={\frac {22}{7}}-\pi .&{\text{adición}}\end{aligned}}

Dalzell da un resultado más preciso al limitar la diferencia con el estudio del denominador.^[3] Así, tenemos

\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{2}}~\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1}}~\mathrm {d} x.

Luego, al calcular:

{\frac {1}{1\;260}}<{\frac {22}{7}}-\pi <{\frac {1}{630}}.

Véase también

Notas y referencias

↑ Lucas, Stephen (2005), «Integral proofs that 355/113 > pi», Australian Mathematical Society Gazette 32 (4): 263-266, MR 2176249, Zbl 1181.11077 .
↑ aces
↑ xter