Las coordenadas bipolares cilíndricas^[1]​ (también denominadas coordenadas cilíndricas bipolares) son un sistema de referencia tridimensional ortogonal que resulta de proyectar un sistema de coordenadas bipolares bidimensional en la dirección perpendicular ${\displaystyle z}$. Las dos rectas de los focos ${\displaystyle F_{1}}$ y ${\displaystyle F_{2}}$ de la circunferencia de Apolonio proyectada se consideran generalmente definidas por ${\displaystyle x=-a}$ y ${\displaystyle x=+a}$, respectivamente, (y por ${\displaystyle y=0}$) en coordenadas cartesianas.

El término bipolar se utiliza a menudo para describir otras curvas que tienen dos puntos singulares (focos), como elipses, hipérbolas y óvalos de Cassini. Sin embargo, el término coordenadas bipolares nunca se utiliza para describir coordenadas asociadas con esas curvas, que tienen sus propios nombres (como por ejemplo, en el caso de las coordenadas elípticas).

La definición más común de las coordenadas bipolares cilíndricas ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}$ es

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle z=\ z}$

donde la coordenada ${\displaystyle \sigma }$ de un punto ${\displaystyle P}$ es igual al ángulo ${\displaystyle F_{1}PF_{2}}$ y la coordenada ${\displaystyle \tau }$ es igual al logaritmo natural de la relación entre las distancias ${\displaystyle d_{1}}$ y ${\displaystyle d_{2}}$ y las líneas rectas focales

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

(debe recordarse que las líneas rectas focales ${\displaystyle F_{1}}$ y ${\displaystyle F_{2}}$ están ubicadas en ${\displaystyle x=-a}$ y ${\displaystyle x=+a}$, respectivamente).

Las superficies de ${\displaystyle \sigma }$ constante corresponden a cilindros de diferentes radios

${\displaystyle x^{2}+\left(y-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$

que pasan todos por las líneas focales y no son concéntricos. Las superficies de ${\displaystyle \tau }$ constante son cilindros de diferentes radios que no se intersecan

${\displaystyle y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$

que rodean las líneas focales pero nuevamente no son concéntricos. Las líneas focales y todos estos cilindros son paralelos al eje ${\displaystyle z}$ (la dirección de proyección). En el plano ${\displaystyle z=0}$, los centros de los cilindros ${\displaystyle \sigma }$ constante y ${\displaystyle \tau }$ constante se encuentran en los ejes ${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle x}$, respectivamente.

Los factores de escala para las coordenadas bipolares ${\displaystyle \sigma }$ y ${\displaystyle \tau }$ son iguales

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

mientras que el factor de escala restante ${\displaystyle h_{z}=1}$.

Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a

${\displaystyle dV={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}d\sigma d\tau dz}$

y el laplaciano está dado por

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$

Otros operadores diferenciales como ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ y ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ se pueden expresar en las coordenadas ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en el artículo dedicado a las coordenadas ortogonales.

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas bipolares son la resolución de ecuaciones en derivadas parciales, como por ejemplo, la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las que las coordenadas bipolares permiten utilizar un método de separación de variables (en 2D). Un ejemplo típico sería el campo eléctrico que rodea dos conductores cilíndricos paralelos.

• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 187–190. LCCN 55010911. 
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 182. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7. 
• Moon P, Spencer DE (1988). «Conical Coordinates (r, θ, λ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print edición). New York: Springer-Verlag. p. unknown. ISBN 978-0-387-18430-2. 

• Descripción de MathWorld de las coordenadas cilíndricas bipolares