La constante prima es un número real ${\displaystyle \rho }$ cuyo ${\displaystyle n}$-ésimo dígito binario es 1 si ${\displaystyle n}$ es un número primo y 0 si ${\displaystyle n}$ es un número compuesto o 1.

En otras palabras, ${\displaystyle \rho }$ es el número cuya expansión binaria corresponde a la función indicatriz del conjunto de los números primos. Esto es,

${\displaystyle \rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}}$

donde ${\displaystyle p}$ indica un primo y ${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }}$ es la función característica del conjunto ${\displaystyle \mathbb {P} }$ de números primos.

El comienzo de la expansión decimal de ρ es: ${\displaystyle \rho =0.414682509851111660248109622\ldots }$ (sucesión A051006 en OEIS)

El comienzo de la expansión binaria es: ${\displaystyle \rho =0.011010100010100010100010000\ldots _{2}}$ (sucesión A010051 en OEIS)

Se puede demostrar que el número ${\displaystyle \rho }$ es irracional.^[1]​ Para ver por qué, supóngase que fuera racional.

Entonces, denótese el dígito ${\displaystyle k}$-ésimo de la expansión binaria de ${\displaystyle \rho }$ como ${\displaystyle r_{k}}$. Entonces, dado que se supone que ${\displaystyle \rho }$ es racional, su expansión binaria finalmente es periódica, por lo que existen ${\displaystyle N}$ y ${\displaystyle k}$ números enteros positivos tales que ${\displaystyle r_{n}=r_{n+ik}}$ para todos los ${\displaystyle n>N}$ y todo ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$.

Pero como según el teorema de Euclides hay un infinito número de primos, se puede elegir un primo ${\displaystyle p>N}$. Por definición, se sabe que ${\displaystyle r_{p}=1}$. Como se señaló, se tiene que ${\displaystyle r_{p}=r_{p+ik}}$ para todos los ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$. Ahora, considérese el caso de que ${\displaystyle i=p}$. Entonces, ${\displaystyle r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0}$, ya que ${\displaystyle p(k+1)}$ es compuesto porque ${\displaystyle k+1\geq 2}$. Dado que ${\displaystyle r_{p}\neq r_{p(k+1)}}$, se concluye que ${\displaystyle \rho }$ es irracional.

• Weisstein, Eric W. «Prime Constant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.