Característica (matemática)

En álgebra abstracta, la característica de un anillo $R$ es definida como el entero positivo más pequeño $n$ tal que $1_{R}+{\overset {n{\text{ sumandos}}}{\ldots }}+1_{R}=0$ . Si no existe tal $n$ , se dice que la característica de $R$ es 0.

De forma alternativa y equivalente, podemos definir la característica del anillo $R$ como el único número natural $n$ tal que $R$ contenga un subanillo isomorfo al anillo cociente $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ .

El caso de anillos

Si $R$ y $S$ son anillos y existe un homomorfismo de anillos

R\rightarrow S

entonces la característica de $S$ divide la característica de $R$ . Esto puede a veces ser utilizado para excluir la posibilidad de cierto homomorfismo de anillos. El único anillo con característica 1 es el anillo trivial, el cual contiene un solo elemento 0=1. Si el anillo no trivial $R$ no tienen ningún divisor de cero, entonces su característica es 0 o primo. En particular, esto se aplica a todo cuerpo, a todo dominio de integridad y a todo anillo de división. Todo anillo de característica 0 es infinito.

El anillo $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ de los enteros módulo $n$ tiene característica $n$ . Si $R$ es un subanillo de $S$ , entonces $R$ y $S$ tienen la misma característica. Por ejemplo, si $q(X)$ es un polinomio primo con coeficientes en el cuerpo $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ donde $p$ es primo, entonces el anillo factor $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )[X]/(q(X))$ es un cuerpo de característica $p$ . Como los números complejos contienen a los racionales, su característica es 0.

Si un anillo conmutativo $R$ tiene característica prima $p$ , entonces se tiene que $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$ para todo elemento $x$ e $y$ en $R$ .

La aplicación

f(x)=x^{p}

define un homomorfismo de anillos

R\rightarrow S

Este es llamado el endomorfismo de Frobenius. Si $R$ es un dominio de integridad este es inyectivo.

Datos: Q836088

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