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En álgebra lineal, particularmente geometría proyectiva, una aplicación semilineal entre dos espacios vectoriales V and W sobre un cuerpo K es una función que es "más o menos" una aplicación lineal, es decir, hay una peculiaridad, que es un automorfismo de K.^[1] Explícitamente, es una función T : V → W que es:

aditiva respecto a vectores: $T(v+v')=T(v)+T(v')$
existe un automorfismo $σ$ tal que $T(\lambda v)=\sigma (\lambda )T(v)$ .

Si el dominio y el codominio son el mismo espacio (T : V → V), se le puede llamar transformación semilineal.^[2]

Definición

Una aplicación $f : V \to W$ para espacios vectoriales $V$ y $W$ sobre cuerpos $K$ y $L$ respectivamente es $σ$ -semilineal, o simplemente semilineal, si existe un homomorfismo $σ : K \to L$ tal que para todo $x$ , $y$ en $V$ y todo $λ$ in $K$ se satisface que:^[3]

$f(x+y)=f(x)+f(y),$
$f(\lambda x)=\sigma (\lambda )f(x).$

Bibliografía

Gruenberg, K.W.; Weir, A.J. (1977), Linear Geometry, Graduate Texts in Mathematics 49 (1st edición), Springer-Verlag New York .
Bray, John N.; Holt, Derek F.; Roney-Dougal, Colva M. (2009), «Certain classical groups are not well-defined», Journal of Group Theory 12 (2): 171-180, ISSN 1433-5883, MR 2502211, doi:10.1515/jgt.2008.069 .
Assmus, E.F.; Key, J.D. (1994), Designs and Their Codes, Cambridge University Press, p. 93, ISBN 0-521-45839-0 .
Faure, Claude-Alain; Frölicher, Alfred (2000), Modern Projective Geometry, Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-6525-9 .