Finia aro

En matematiko, aron A oni nomas finia, se por iu natura nombro n ekzistas dissurĵeto de la aro {1, ..., n} sur la aron A. Mallonge oni skribas ${\bar {n}}=\left\{1,...,n\right\}$ .

Ekzemple la aro $A=\left\{e,\pi ,e^{\pi }\right\}$ estas finia ĉar la funkcio $f:\left\{1,2,3\right\}\rightarrow A$ difinita per

1\mapsto e,\ 2\mapsto \pi ,\ 3\mapsto e^{\pi }

estas dissurĵeto de ${\bar {3}}$ sur $A$ .

Por matematike difini, kio estas la nombro de elementoj de finia aro, oni pruvas la sekvan aserton: se A estas finia aro kaj ekzistas naturaj nombroj n, m kaj dissurĵetoj $f:{\bar {n}}\rightarrow A,\ g:{\bar {m}}\rightarrow A$ , tiam n=m.

Tiu fakto ebligas difini la nombron de elementoj de finia aro A kiel la unikan naturan n tian, ke ekzistas dissurĵeto de ${\bar {n}}$ sur $A$ (n certe ekzistas laŭ la difino mem de finia aro, kaj estas unika laŭ la ĵus citita aserto).

Tiun nombron oni simbole indikas per $\#A$ aŭ per $|A|$ kaj iam nomas povo de aro aŭ "kardinaleco" de $A$ . Nun oni povas, laŭlogike, aserti ke la aro $A=\left\{e,\pi ,e^{\pi }\right\}$ el la ĉi-supra ekzemplo havas $3$ elementojn, t.e. $\#A=3$ . Aliaj ekzemploj: $\#\left\{7,-12,18,\pi \right\}=4,\ \#\left\{1,2,1,1\right\}=2$ ; krome, oni aparte difinas, ke $\#\emptyset =0$ (kie $\emptyset$ estas la malplena aro).

Oni nomas aron nefinia, se ĝi ne estas finia. Ekzistas aliaj difinoj de nefinia aro ekvivalentaj al ĉi tiu.

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