Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. Μπορείτε να βοηθήσετε προσθέτοντας την κατάλληλη τεκμηρίωση. Υλικό που είναι ατεκμηρίωτο μπορεί να αμφισβητηθεί και να αφαιρεθεί. Η σήμανση τοποθετήθηκε στις 30/07/2011.

Μέτρο στα μαθηματικά ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση ${\displaystyle \mu :\Sigma \rightarrow [0,+\infty ]}$ ορισμένη σε μία Σ-άλγεβρα ${\displaystyle \Sigma }$ με τις ακόλουθες ιδιότητες:

• Αριθμήσιμη προσθετικότητα: Για κάθε αριθμήσιμη συλλογή ${\displaystyle \{E_{i}\}_{i\in I}}$ ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων

${\displaystyle \mu {\Bigl (}\bigcup _{i\in I}E_{i}{\Bigr )}=\sum _{i\in I}\mu (E_{i}).}$

• Μηδενικό μέτρο στο κενό σύνολο:

${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$

Συγκεκριμένα ο παραπάνω ορισμός ορίζει ένα μη-αρνητικό μέτρο. Μέτρα με σύνολο τιμών το ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ή το ${\displaystyle \mathbb {C} }$ εξετάζονται στην θεωρία ολοκλήρωσης.

Έστω ένα σύνολο X, και έστω ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ το δυναμοσύνολο του X. Εξωτερικό μέτρο ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση ${\displaystyle \mu :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,+\infty ]}$ με τις ακόλουθες ιδιότητες:

• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$
• Αν ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$, τότε ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$.
• Αν ${\displaystyle \{A_{n}\}}$ είναι μια ακολουθία υποσυνόλων του Χ, τότε ${\displaystyle \mu {\Bigl (}\bigcup _{n}A_{n}{\Bigr )}\leq \sum _{n}\mu (A_{n})}$.

Έστω ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ένας μετρήσιμος χώρος, δηλαδή έστω Χ κάποιο σύνολο, Σ μια σ-άλγεβρα και μ ένα μέτρο ορισμένο σε αυτή. Ένα μέτρο είναι σ-περατό αν για κάθε ${\displaystyle E\in \Sigma }$, υπάρχει ακολουθία ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων ${\displaystyle {A_{n}}}$ με ${\displaystyle \bigcup _{n}A_{n}=E}$ τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της ακολουθίας να έχει περατό μέτρο, δηλαδή ${\displaystyle \mu (A_{i})<+\infty }$.