"℘" ανακατευθύνεται εδώ- το σύμβολο μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να δηλώσει ένα Δυναμοσύνολο.

Στα μαθηματικά, οι ελλειπτικές συναρτήσεις Βάιερστρας είναι ελλειπτικές συναρτήσεις που έχουν μια ιδιαίτερα απλή μορφή. Πήραν το όνομά τους από τον Καρλ Βάιερστρας. Αυτή η κατηγορία συναρτήσεων αναφέρεται επίσης ως ℘-συναρτήσεις και συνήθως συμβολίζονται με το σύμβολο ℘, μια μοναδική p-γραφή. Παίζουν σημαντικό ρόλο στη θεωρία των ελλειπτικών συναρτήσεων, δηλαδή των μερομορφικών συναρτήσεων που είναι διπλά περιοδικές. Μια ℘-συνάρτηση μαζί με την παράγωγό της μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παραμετροποίηση ελλειπτικών καμπυλών και δημιουργούν το πεδίο των ελλειπτικών συναρτήσεων ως προς ένα δεδομένο πλέγμα περιόδων.

Ένα κυβικό σχήματος ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}}$, όπου ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ είναι μιγαδικοί αριθμοί με ${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$, δεν μπορεί να παραμετρηθεί με ρητό τρόπο .^[1] Ωστόσο, επιθυμούμε να βρούμε έναν τρόπο διαμόρφωσης.

Για το τετράγωνο ${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$;- ο μοναδιαίος κύκλος, υπάρχει μια (μη ρητή) παραμετροποίηση χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ημιτόνου και την παράγωγό της τη συνάρτηση συνημιτόνου:

${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).}$

Λόγω της περιοδικότητας του ημιτόνου και του συνημιτόνου επιλέγεται το ${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ ως πεδίο ορισμού, οπότε η συνάρτηση είναι διμερής.

Με παρόμοιο τρόπο μπορεί κανείς να πάρει μια παραμετροποίηση της ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ μέσω της διπλά περιοδικής ${\displaystyle \wp }$-συνάρτησης (βλέπε στην ενότητα "Σχέση με ελλειπτικές καμπύλες"). Αυτή η παραμετροποίηση διαθέτει το πεδίο ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$, το οποίο είναι τοπολογικά ισοδύναμο με έναν Τόρο.^[2]

Υπάρχει μια άλλη αναλογία με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Ας εξετάσουμε την ακεραία συνάρτηση

${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}$

Μπορεί να απλουστευθεί αντικαθιστώντας ${\displaystyle y=\sin t}$ και ${\displaystyle s=\arcsin x}$:

${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.}$

Αυτό σημαίνει ${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}$. Έτσι, η συνάρτηση του ημιτόνου είναι μια αντίστροφη συνάρτηση μιας ακεραίας συνάρτησης.^[3]

Οι ελλειπτικές συναρτήσεις είναι οι αντίστροφες συναρτήσεις των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων. Πιο συγκεκριμένα:

${\displaystyle u(z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$

Τότε η επέκταση του ${\displaystyle u^{-1}}$ στο μιγαδικό επίπεδο ισούται με τη συνάρτηση ${\displaystyle \wp }$.^[4] Αυτή η αντιστρεψιμότητα χρησιμοποιείται στην μιγαδική ανάλυση για να δώσει λύση σε ορισμένες μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις που ικανοποιούν την ιδιότητα Painlevé^[5], δηλαδή σε εκείνες τις εξισώσεις που δέχονται πόλους ως τις μόνες κινητές ιδιομορφίες τους.^[6]

Έστω ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$ δύο μιγαδικοί αριθμοίοι οποίοι είναι γραμμικά ανεξάρτητοι πάνω στο ${\displaystyle \mathbb {R} }$ και έστω ${\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ είναι το περιοδικό πλέγμα που δημιουργείται από αυτούς τους αριθμούς. Τότε η συνάρτηση ${\displaystyle \wp }$ ορίζεται ως εξής:

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

Αυτή η σειρά συγκλίνει τοπικά ομοιόμορφα απόλυτα στον μιγαδικό τόρο ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Lambda }$.

Είναι συνηθισμένο να χρησιμοποιείται το ${\displaystyle 1}$ και ${\displaystyle \tau }$ στο άνω ημιεπίπεδο ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$ ως γεννήτορες του πλέγματος. Η διαίρεση με ${\textstyle \omega _{1}}$ απεικονίζει το πλέγμα ${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$ ισομορφικά στο πλέγμα ${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$ με ${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$. Επειδή το ${\displaystyle -\tau }$ μπορεί να αντικαταστήσει το ${\displaystyle \tau }$, χωρίς απώλεια της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$, και στη συνέχεια να ορίσουμε ${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$.

• Η ${\displaystyle \wp }$ είναι μια μερομορφική συνάρτηση με πόλο τάξης 2 σε κάθε περίοδο ${\displaystyle \lambda }$ στην ${\displaystyle \Lambda }$.
• Η ${\displaystyle \wp }$ είναι άρτια συνάρτηση. Αυτό σημαίνει ${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$ for all ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί με τον ακόλουθο τρόπο:

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}}$

Η προτελευταία ισότητα ισχύει επειδή ${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$. Δεδομένου ότι το άθροισμα συγκλίνει απόλυτα, αυτή η αναδιάταξη δεν αλλάζει το όριο.

• Η παράγωγος του ${\displaystyle \wp }$ δίνεται από:^[7] ${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.}$
• ${\displaystyle \wp }$ και ${\displaystyle \wp '}$ είναι διπλά περιοδικές με περιόδους ${\displaystyle \omega _{1}}$ και ${\displaystyle \omega _{2}}$. ^[7] Αυτό σημαίνει:

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{aligned}}}$

Προκύπτει ότι ${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$ and ${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$ για κάθε ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$.

Έστω ${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$ and ${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$. Τότε η συνάρτηση ${\displaystyle \wp }$ ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση^[7].

${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$

Η σχέση αυτή μπορεί να επαληθευτεί με το σχηματισμό ενός γραμμικού συνδυασμού δυνάμεων των ${\displaystyle \wp }$ και ${\displaystyle \wp '}$ για την εξάλειψη του πόλου στο ${\displaystyle z=0}$. Αυτό δίνει μια ολόκληρη ελλειπτική συνάρτηση που πρέπει να είναι σταθερή σύμφωνα με το θεώρημα του Λιούβιλ.^[7]

Οι συντελεστές της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης g₂ και g₃ είναι γνωστοί ως αμετάβλητοι. Επειδή εξαρτώνται από το πλέγμα ${\displaystyle \Lambda }$ μπορούν να θεωρηθούν ως συναρτήσεις στο ${\displaystyle \omega _{1}}$ και ${\displaystyle \omega _{2}}$.

Το ανάπτυγμα της σειράς δείχνει ότι οι g₂ και g₃ είναι ομογενείς συναρτήσεις βαθμού -4 και -6. Δηλαδή^[8]

${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$

${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$

για ${\displaystyle \lambda \neq 0}$.

Εάν ω${\displaystyle \omega _{1}}$ και ω ${\displaystyle \omega _{2}}$ επιλέγονται με τέτοιο τρόπο ώστε ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$, g₂, τα g₂ και g₃ μπορούν να ερμηνευθούν ως συναρτήσεις στο άνω ημιεπίπεδο ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$.

Έστω ${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$. Έχουμε: ^[9]

${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),}$

${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$

Αυτό σημαίνει ότι τα g₂ και g₃ κλιμακώνονται μόνο με αυτό τον τρόπο. Ορισμός

${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$

και

${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).}$

Ως συναρτήσεις των ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle g_{2},g_{3}}$ είναι οι λεγόμενες δομοστοιχειωτές μορφές.

Οι σειρές Φουριέ για ${\displaystyle g_{2}}$ και ${\displaystyle g_{3}}$ δίνονται ως εξής:^[10]

${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$

όταν

${\displaystyle \sigma _{a}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{\alpha }}$

είναι η συνάρτηση του διαιρέτη και ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ είναι το nome^[11].

Η διακρίνουσα συνάρτηση Δ ορίζεται ως η διακρίνουσα του πολυωνύμου στη δεξιά πλευρά της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης:

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$

Η διακρίνουσα είναι μια δομοστοιχειωτή μορφή βάρους 12. Δηλαδή, υπό τη δράση της modular ομάδας, μετασχηματίζεται σε

${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$

όταν ${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$ με ad − bc = 1.^[12]

Ας σημειωθεί ότι ${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$ όπου ${\displaystyle \eta }$ είναι η συνάρτηση ήτα του Ντεντέκιντ.^[13]

Για τους συντελεστές Φουριέ του ${\displaystyle \Delta }$, δείτε συνάρτηση ράμανουτζαν ταυ^[14].

Οι σταθερές ${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$ και ${\displaystyle e_{3}}$ χρησιμοποιούνται συνήθως για να δηλώσουν τις τιμές της συνάρτησης ${\displaystyle \wp }$ στις ημιπεριόδους.

${\displaystyle e_{1}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)}$

${\displaystyle e_{2}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle e_{3}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$

Είναι κατά ζεύγη διακριτά και εξαρτώνται μόνο από το πλέγμα ${\displaystyle \Lambda }$ και όχι από τις γεννήτριές του.^[15]

${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$ και ${\displaystyle e_{3}}$ είναι οι ρίζες του κυβικού πολυωνύμου ${\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$ και συνδέονται με την εξίσωση:

${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.}$

Επειδή αυτές οι ρίζες είναι διαφορετικές, η διακρίνουσα ${\displaystyle \Delta }$ δεν εξαφανίζεται στο άνω ημιεπίπεδο.^[16] Τώρα μπορούμε να ξαναγράψουμε τη διαφορική εξίσωση:

${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3}).}$

Αυτό σημαίνει ότι οι μισές περίοδοι είναι μηδενικές του ${\displaystyle \wp '}$.

Οι αναλλοίωτες ${\displaystyle g_{2}}$ και ${\displaystyle g_{3}}$ μπορούν να εκφραστούν ως προς αυτές τις σταθερές με τον ακόλουθο τρόπο:^[17]

${\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})}$

${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$

${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$ και ${\displaystyle e_{3}}$ σχετίζονται με τη διακρίνουσα συνάρτηση λάμδα:

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}},\quad \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}.}$

Η συνάρτηση ${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})}$ μπορεί να παρασταθεί με τις συναρτήσεις θήτα του Ιακόμπι:

${\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)}$

όπου ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ είναι ο νομός και ${\displaystyle \tau }$ είναι αναλογία περιόδων ${\displaystyle (\tau \in \mathbb {H} )}$.^[18] Αυτό παρέχει επίσης έναν πολύ γρήγορο αλγόριθμο για τον υπολογισμό του ${\displaystyle \wp (z,\tau )}$.

Ας εξετάσουμε την ενσωμάτωση της κυβικής καμπύλης στο μιγαδικό προβολικό επίπεδο

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \{\infty \}=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).}$

Για αυτό το κυβικό δεν υπάρχει ρητή παραμετροποίηση, αν ${\displaystyle \Delta \neq 0}$.^[1]. Στην περίπτωση αυτή ονομάζεται επίσης ελλειπτική καμπύλη. Παρ' όλα αυτά υπάρχει μια παραμετροποίηση σε ομογενείς συντεταγμένες που χρησιμοποιεί τη συνάρτηση ${\displaystyle \wp }$ και την παράγωγο της ${\displaystyle \wp '}$:^[19]

${\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}}$

Τώρα ο χάρτης ${\displaystyle \varphi }$ είναι διμερής και παραμετροποιεί την ελλειπτική καμπύλη ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$.

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ είναι μια αβελιανή ομάδα και ένας τοπολογικός χώρος, εφοδιασμένος με την τοπολογία του πηλίκου.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε κυβικό Βάιερστρας δίνεται με αυτόν τον τρόπο. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε ζεύγος ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ με ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$ υπάρχει ένα πλέγμα ${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$, έτσι ώστε

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$ and ${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$.^[20]

Ο ισχυρισμός ότι οι ελλειπτικές καμπύλες πάνω από το ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ μπορεί να παραμετροποιηθούν πάνω στο ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ονομάζεται θεωρία των δομοστοιχειωτών. Πρόκειται για ένα σημαντικό θεώρημα στη θεωρία αριθμών. Αποτελούσε μέρος της απόδειξης (1995) του Άντριου Γουάιλς για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά.

Έστω ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$, έτσι ώστε ${\displaystyle z,w,z+w,z-w\notin \Lambda }$. Τότε έχουμε:^[21]

${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w).}$

Καθώς και η φόρμουλα διπλασιασμού:^[21]

${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z).}$

Αυτοί οι τύποι έχουν επίσης μια γεωμετρική ερμηνεία, αν εξετάσουμε την ελλειπτική καμπύλη ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$μαζί με την αντιστοίχηση ${\displaystyle {\varphi }:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ όπως στην προηγούμενη ενότητα.

Η δομή της ομάδας${\displaystyle (\mathbb {C} /\Lambda ,+)}$ μεταφράζεται σε καμπύλη ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ και δύναται να ερμηνευθεί γεωμετρικά :

Το άθροισμα τριών κατά ζεύγη διαφορετικών σημείων ${\displaystyle a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ είναι μηδέν αν και μόνο αν βρίσκονται στην ίδια ευθεία στο ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$.^[22]

Αυτό είναι ισοδύναμο με:

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0,}$ όταν ${\displaystyle \wp (u)=a}$,

${\displaystyle \wp (v)=b}$ και ${\displaystyle u,v\notin \Lambda }$.^[23]

Η ελλειπτική συνάρτηση του Βάιερστρας γράφεται συνήθως με ένα μάλλον ιδιαίτερο, πεζό γράμμα ℘, το οποίο ήταν ο ίδιος ο Βάιερστρας που το εισήγαγε στις διαλέξεις του 1862-1863.^[24]

Στην πληροφορική, το γράμμα ℘ είναι διαθέσιμο ως \wp στο TeX. Στο Unicode το σημείο κωδικοποίησης είναι U+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P (℘, ℘), με το ορθότερο επίθετο "ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας". Στην HTML, μπορεί να διαχωριστεί ως ℘.^[25][26]

• N. I. Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover Publications; Republished in English translation as Theory of Functions (1996), Dover Publications ISBN 0-486-69219-1
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 1952, chapters 20 and 21

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Weierstrass elliptic functions», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/w097450 
• Weierstrass's elliptic functions on Mathworld.
• Chapter 23, Weierstrass Elliptic and Modular Functions in DLMF (Digital Library of Mathematical Functions) by W. P. Reinhardt and P. L. Walker.
• Weierstrass P function and its derivative implemented in C by David Dumas