Στην γραμμική άλγεβρα, διαγώνιος πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μη-μηδενικά στοιχεία μόνο στην κύρια διαγώνιο.^{[1]:36[2]:178-179[3]:14-15[4]:7[5]:7} Πιο συγκεκριμένα, διαγώνιος είναι κάθε ${\displaystyle n\times n}$ πίνακας ${\displaystyle D}$, ο οποίος ικανοποιεί ${\displaystyle D_{ij}=0}$ για κάθε ${\displaystyle i\neq j}$ και ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$.

Για ${\displaystyle n=2,3,4}$, κάθε διαγώνιος πίνακας διαστάσεων ${\displaystyle n\times n}$ έχει αντίστοιχα την μορφή:

${\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0\\0&d_{2}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0&0\\0&d_{2}&0\\0&0&d_{3}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&0\\0&d_{2}&0&0\\0&0&d_{3}&0\\0&0&0&d_{4}\end{bmatrix}} _{4\times 4}}$

για κάποια στοιχεία ${\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3},d_{4}}$. Στην γενική περίπτωση, ο διαγώνιος πίνακας με στοιχεία ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n}}$ στην κυρία διαγώνιό του, γράφεται και ως εξής:^[6]:62[7]

${\displaystyle \operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n})={\begin{bmatrix}d_{1}&0&\ldots &0\\0&d_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &d_{n}\end{bmatrix}}.}$

• Παρακάτω δίνονται παραδείγματα διαγωνίων πινάκων με διαστάσεις ${\displaystyle n\times n}$ για ${\displaystyle n=2,3,4}$ αντίστοιχα:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&0\\0&2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}7&0&0\\0&-3&0\\0&0&2.2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}21&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&-8.3&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

• Ο τετραγωνικός μηδενικός πίνακας ${\displaystyle \mathbf {0} _{n,n}=\operatorname {diag} (0,\ldots ,0)}$ είναι διαγώνιος.
• Ο μοναδιαίος πίνακας ${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,\ldots ,1)}$ είναι διαγώνιος.

• Το άθροισμα δύο διαγωνίων πινάκων ${\displaystyle A=\operatorname {diag} (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ και ${\displaystyle B=\operatorname {diag} (b_{1},\ldots ,b_{n})}$ είναι διαγώνιος και ίσoς με

${\displaystyle A+B=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n})}$.

• Το γινόμενο δύο διαγωνίων πινάκων ${\displaystyle A=\operatorname {diag} (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ και ${\displaystyle B=\operatorname {diag} (b_{1},\ldots ,b_{n})}$ είναι διαγώνιος και ίσος με

${\displaystyle AB=\operatorname {diag} (a_{1}\cdot b_{1},\ldots ,a_{n}\cdot b_{n})}$.

Επομένως με την χρήση μαθηματικής επαγωγής έχουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle A^{m}=\operatorname {diag} (a_{1}^{m},\ldots ,a_{n}^{m})}$.

• Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός διαγώνιου πίνακα ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})}$ με ένα στοιχείο ${\displaystyle c}$ είναι ένας διαγώνιος πίνακας ίσος με

${\displaystyle cD=\operatorname {diag} (c\cdot d_{1},\ldots ,c\cdot d_{n})}$.

• Το ίχνος ενός διαγωνίου πίνακα ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})}$ είναι το άθροισμα των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή

${\displaystyle \operatorname {tr} (D)=d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{n}}$.

• Η ορίζουσα ενός διαγωνίου πίνακα ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})}$ είναι το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή^[1]: 49

${\displaystyle \operatorname {det} (D)=d_{1}\cdot d_{2}\cdot \ldots \cdot d_{n}}$.

Από αυτό προκύπτει ότι ένας διαγώνιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου είναι διάφορα του μηδέν.

• Αν ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})}$ με ${\displaystyle d_{1}\neq 0,\ldots ,d_{n}\neq 0}$, τότε^[1]: 39

${\displaystyle D^{-1}=\operatorname {diag} (d_{1}^{-1},\ldots ,d_{n}^{-1})}$,

που επιβεβαιώνεται από την ιδιότητα του γινομένου, καθώς

${\displaystyle D^{-1}D=DD^{-1}=\operatorname {diag} (d_{1}d_{1}^{-1},\ldots ,d_{n}d_{n}^{-1})=\operatorname {diag} (1,\ldots ,1)=I}$.