Αβελιανή ομάδα
Στα μαθηματικά , αβελιανή ομάδα ή αντιμεταθετική ομάδα είναι μια ομάδα
(
A
,
∘ ∘ -->
)
{\displaystyle (A,\circ )}
αντιμεταθετική ιδιότητα , δηλαδή για κάθε στοιχεία
a
,
b
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle a,b\in A}
a
∘ ∘ -->
b
=
b
∘ ∘ -->
a
{\displaystyle a\circ b=b\circ a}
[ 1] :2 [ 2] :1
Οι αβελιανές ομάδες πήραν την ονομασία τους από τον Νορβηγό μαθηματικό Νιλς Χένρικ Άμπελ (Nils Henrik Abel)[ 3] :20 διότι ο Abel ήταν ο πρώτος που βρήκε ότι η μεταθετικότητα των στοιχείων μίας ομάδας ενός πολυωνύμου σχετίζεται με τον υπολογισμό των ριζών του.[ 4] :39 Η χρήση της λέξης «αβελιανή» έχει γίνει τόσο κοινή στα Μαθηματικά , ώστε καθιερώθηκε να γράφεται με μικρό «α».
Η έννοια των αβελιανών ομάδων είναι από τις πρώτες που εισάγονται στον τομέα της αφηρημένης άλγεβρας πάνω στην οποία βασίζονται βασικές έννοιες όπως τα πρότυπα , οι διανυσματικοί χώροι κ.ά.
Μια αβελιανή ομάδα
(
A
,
∘ ∘ -->
)
{\displaystyle (A,\circ )}
σύνολο
A
{\displaystyle A}
δυαδική πράξη
∘ ∘ -->
{\displaystyle \circ }
Για κάθε
a
,
b
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle a,b\in A}
a
∘ ∘ -->
b
=
b
∘ ∘ -->
a
{\displaystyle a\circ b=b\circ a}
Επομένως, συνολικά η αβελιανή ομάδα
(
A
,
∘ ∘ -->
)
{\displaystyle (A,\circ )}
Κλειστότητα : Για κάθε
a
,
b
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle a,b\in A}
a
∘ ∘ -->
b
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle a\circ b\in A}
Προσεταιριστική ιδιότητα : Για κάθε
a
,
b
,
c
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle a,b,c\in A}
a
∘ ∘ -->
(
b
∘ ∘ -->
c
)
=
(
a
∘ ∘ -->
b
)
∘ ∘ -->
c
{\displaystyle a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}
Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου : Υπάρχει ένα στοιχείο
e
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle e\in A}
a
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle a\in A}
a
∘ ∘ -->
e
=
e
∘ ∘ -->
a
=
a
{\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}
Ύπαρξη αντιστρόφου στοιχείου : Για κάθε
a
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle a\in A}
b
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle b\in A}
a
∘ ∘ -->
b
=
b
∘ ∘ -->
a
=
e
{\displaystyle a\circ b=b\circ a=e}
Αντιμεταθετική ιδιότητα : Για κάθε
a
,
b
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle a,b\in A}
a
∘ ∘ -->
b
=
b
∘ ∘ -->
a
{\displaystyle a\circ b=b\circ a}
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μαζί με την πρόσθεση
(
R
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
a
,
b
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
[ 3] : 19 [ 4] : 39
Κάθε κυκλική ομάδα
(
G
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (G,\cdot )}
[ 4] : 59
Απόδειξη
Έστω
x
,
y
∈ ∈ -->
G
{\displaystyle x,y\in G}
(
G
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (G,\cdot )}
x
=
a
n
{\displaystyle x=a^{n}}
y
=
a
m
{\displaystyle y=a^{m}}
a
∈ ∈ -->
G
{\displaystyle a\in G}
n
,
m
∈ ∈ -->
Z
{\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} }
x
⋅ ⋅ -->
y
=
a
n
⋅ ⋅ -->
a
m
=
a
n
+
m
=
a
m
+
n
=
a
m
⋅ ⋅ -->
a
n
=
y
⋅ ⋅ -->
x
{\displaystyle x\cdot y=a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}=a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}=y\cdot x}
Επομένως, ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα.
Ως κυκλικές ομάδες, οι ακέραιοι
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
n
{\displaystyle n}
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
Κάθε δακτύλιος μαζί με την πρόσθεση.
Κάθε ομάδα με
4
{\displaystyle 4}
[ 1] : 27
Κάθε ομάδα
(
G
,
∘ ∘ -->
)
{\displaystyle (G,\circ )}
g
2
=
e
{\displaystyle g^{2}=e}
g
∈ ∈ -->
G
{\displaystyle g\in G}
[ 1] : 32 [ 4] : 48
Απόδειξη
Έστω
a
,
b
∈ ∈ -->
G
{\displaystyle a,b\in G}
(
a
b
)
2
=
e
⇒ ⇒ -->
a
b
a
b
=
e
⇒ ⇒ -->
a
− − -->
1
a
b
a
b
b
− − -->
1
=
a
− − -->
1
b
− − -->
1
⇒ ⇒ -->
b
a
=
a
− − -->
1
b
− − -->
1
{\displaystyle (ab)^{2}=e\Rightarrow abab=e\Rightarrow a^{-1}ababb^{-1}=a^{-1}b^{-1}\Rightarrow ba=a^{-1}b^{-1}}
(1
Αφού
a
2
=
e
{\displaystyle a^{2}=e}
b
2
=
e
{\displaystyle b^{2}=e}
a
=
a
− − -->
1
{\displaystyle a=a^{-1}}
b
=
b
− − -->
1
{\displaystyle b=b^{-1}}
1
b
a
=
a
b
{\displaystyle ba=ab}
Ο πίνακας Cayley μίας αβελιανής ομάδας είναι συμμετρικός ως προς την διαγώνιο, καθώς
a
∘ ∘ -->
b
=
b
∘ ∘ -->
a
{\displaystyle a\circ b=b\circ a}
[ 1] : 11
Κάθε υποομάδα μία αβελιανής ομάδας είναι κανονική .[ 2] : 5
Έστω
ϕ ϕ -->
:
G
→ → -->
H
{\displaystyle \phi :G\to H}
μονομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων
(
G
,
∘ ∘ -->
)
{\displaystyle (G,\circ )}
(
H
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (H,\cdot )}
(
H
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (H,\cdot )}
(
G
,
∘ ∘ -->
)
{\displaystyle (G,\circ )}
[ 1] : 59 [ 4] : 126
↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Θεοχάρη-Αποστολίδη, Θεοδώρα (2015). Εισαγωγή στην Θεωρία Ομάδων ISBN 9789606033346 . ↑ 2,0 2,1 Γιαννόπουλος, Απόστολος (2013). «834. Θεωρία Ομάδων» (PDF) . Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 7 Αυγούστου 2022 . ↑ 3,0 3,1 Παπίστας, Αθανάσιος Ι. (2015). Μαθήματα θεωρίας ομάδων ISBN 9789606031106 . ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 Fraleigh, John B. (2013). A first course in abstract algebra (Seventh έκδοση). Harlow, Essex. ISBN 9781292037592 .
