Στα μαθηματικά, το άθροισμα δύο κύβων είναι το άθροισμα ενός αριθμού που είναι κύβος με έναν άλλον κύβο.

Το άθροισμα δύο κύβων ${\displaystyle x^{3}}$ και ${\displaystyle y^{3}}$ μπορεί να γραφτεί ως^[1]:10-11

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)\cdot (x^{2}-xy+y^{2})}$.

Απόδειξη: Ξεκινώντας από το δεξί μέλος έχουμε ότι

${\displaystyle (x+y)\cdot (x^{2}-xy+y^{2})=x^{3}-x^{2}y+xy^{2}+yx^{2}-xy^{2}+y^{3}=x^{3}+y^{3},}$

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Θέτοντας ${\displaystyle y'=-y}$ στον τύπο για το άθροισμα κύβων λαμβάνουμε ότι

${\displaystyle x^{3}+(-y)^{3}=(x+(-y))\cdot (x^{2}-x\cdot (-y)+(-y)^{2}),}$

ή ισοδύναμα

${\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)\cdot (x^{2}+xy+y^{2}).}$

Στην θεωρία αριθμών από την εποχή του Διόφαντου έχει μελετηθεί ποιοι ακέραιοι αριθμοί ${\displaystyle z\in \mathbb {Z} }$ μπορούν να γραφούν ως το άθροισμα δύο κύβων.^[2][3][4]

Οι αριθμοί των Ταξί^[5] ${\displaystyle \operatorname {Ta} (n)}$ είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα ${\displaystyle n}$ κύβων. Για παράδειγμα, to ${\displaystyle 1729}$, μπορεί να γραφτεί ως

${\displaystyle 1729=1^{2}+12^{3}=9^{3}+10^{3}}$,

και είναι ο μικρότερος τέτοιος αριθμός για ${\displaystyle n=2}$. Για ${\displaystyle n=3}$, ο μικρότερος τέτοιος αριθμός είναι ο ${\displaystyle 87.539.319}$, που μπορεί να γραφτεί ως

${\displaystyle 87.539.319=436^{3}+167^{3}=423^{3}+228^{3}=414^{3}+255^{3}}$.

Στην θεωρία αριθμών έχει μελετηθεί^[6][7] ποια αθροίσματα κύβων είναι τέλειες δυνάμεις, δηλαδή για ποιους ακεραίους ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ και ${\displaystyle z}$ ισχύει ότι

${\displaystyle x^{3}=y^{3}=z^{p}}$,

για κάποιον φυσικό αριθμό ${\displaystyle p}$.