Ο Νικόλας Παπαγγελόπουλος ξεκίνησε τη σταδιοδρομία του από τον Α.Ο. Ξυλοκάστρου το 2002, και στη συνέχεια αγωνίστηκε κατά σειρά στην Ε.Α. Πατρών (2003-04), τον Μακεδονικό Θεσσαλονίκης (2004-05) και τον Ηρακλή Θεσσαλονίκης (2005-07) με τον οποίο κατέκτησε το Κύπελλο Ελλάδας 2006, το Πρωτάθλημα Ελλάδας 2006-07, καθώς και το πανελλήνιο πρωτάθλημα εφήβων στη Ζάκυνθο το 2007. Την επόμενη χρονιά μεταγράφηκε στον Παναθηναϊκό, με τον οποίο κατέκτησε το Κύπελλο Ελλάδας 2008.
Το Καλοκαίρι του 2012 εντάχθηκε για δεύτερη φορά στον Α.Ο.Π. Κηφισιάς και αποτέλεσε αναπόσπαστο κομμάτι του για οκτώ περιόδους. Με την ομάδα των «Βορείων προαστείων», που εκείνη την περίοδο εδραιώθηκε στην Α1 εθνική κατηγορία, έφτασε τρεις φορές στον τελικό του κυπέλλου Ελλάδας (2014, 2016, 2017). Επίσης αναδείχθηκε πολυτιμότερος παίκτης (MVP) κατά την 19η αγωνιστική του Πρωταθλήματος Βόλεϊ Λιγκ τον Μάρτιο του 2016.
Το Kαλοκαίρι του 2017 εντάχθηκε στον ΠΑΟΚ,[2] στον οποία παρέμεινε μέχρι και τον Δεκέμβριο. Τον Ιανουάριο του 2018 επέστρεψε για τρίτη φορά στην ομάδα της Κηφισιάς,[3] ενώ η επόμενη περίοδος τον βρήκε στην Ελβετική Βόλλεϋ Νέφελς,[4] με την οποία αγωνίστηκε για δύο περιόδους. Το καλοκαίρι του 2020 επέστρεψε στην Ελλάδα και υπέγραψε για δεύτερη φορά στον Φοίνικα Σύρου,[5] με τον οποίο κατέκτησε το Λιγκ Καπ Ελλάδας και το Σούπερ Kαπ Ελλάδας το 2021.
Τον Ιούλιο του 2022 ο Νικόλας Παπαγγελόπουλος υπέγραψε στον Ολυμπιακός Πειραιώς,[6] με τον οποίο κατέκτησε το το CEV Τσάλεντζ Καπ της περιόδου 2022-23[7] και συνέβαλε αποφασιστικά στην κατάκτηση από τους ερυθρόλευκους του Πρωταθλήματος Ελλάδας 2022-23.[8]