Η ανισότητα Μπερνούλι (αναφέρεται και ως ανισότητα Bernoulli) είναι η ανισότητα:^[1][2][3]:65

${\displaystyle (1+\alpha )^{\nu }\geq 1+\nu \alpha ,}$

για κάθε φυσικό αριθμό ${\displaystyle \nu \in \mathbb {N} }$ και πραγματικό αριθμό ${\displaystyle \alpha \in [-1,+\infty )}$.

Θα αποδείξουμε την ανισότητα με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής για το ${\displaystyle \nu }$.

Βασικό βήμα: Για ${\displaystyle \nu =0}$, η ανισότητα ισχύει ως ισότητα καθώς ${\displaystyle (1+\alpha )^{0}=1=1+\alpha \cdot 0}$.

Επαγωγικό βήμα: Ας υποθέσουμε ότι η ανισότητα ισχύει για ${\displaystyle \nu =\kappa }$, δηλαδή ${\displaystyle (1+\alpha )^{\kappa }\geq 1+\kappa \alpha }$, τότε για ${\displaystyle \nu =\kappa +1}$, έχουμε

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+\alpha )^{\kappa +1}&=(1+\alpha )^{\kappa }\cdot (1+\alpha )\\&\geq (1+\kappa \alpha )\cdot (1+\alpha )\\&=1+\kappa \alpha +\alpha +\kappa \alpha ^{2}\\&=1+(\kappa +1)\alpha +\kappa \alpha ^{2}\\&\geq 1+(\kappa +1)\alpha ,\end{aligned}}}$

χρησιμοποιώντας ότι ${\displaystyle \kappa \alpha ^{2}\geq 0}$ καθώς ${\displaystyle \kappa \geq 0}$ και ${\displaystyle \alpha ^{2}\geq 0}$.

Επομένως, η ανισότητα ισχύει και για ${\displaystyle \nu =\kappa +1}$, άρα και για όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Για ${\displaystyle \nu =0}$, η ανισότητα ισχύει ως ισότητα καθώς ${\displaystyle (1+\alpha )^{0}=1=1+\alpha \cdot 0}$.

Για ${\displaystyle \nu \geq 1}$, από διωνυμικό θεώρημα έχουμε ότι

${\displaystyle (1+\alpha )^{\nu }=\sum _{i=0}^{\nu }{\binom {\nu }{i}}\alpha ^{i}\cdot 1^{\nu -i}=\sum _{i=0}^{\nu }{\binom {\nu }{i}}\alpha ^{i},}$

(1)

όπου ${\displaystyle {\binom {\nu }{i}}}$ είναι οι διωνιμικοί συντελεστές. Αφού ${\displaystyle {\binom {\nu }{i}}\geq 0}$ και ${\displaystyle \alpha \geq 0}$, δηλαδή κάθε όρος του αθροίσματος είναι μη-αρνητικός, έχουμε ότι:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\nu }{\binom {\nu }{i}}\alpha ^{i}\geq \sum _{i=0}^{1}{\binom {\nu }{i}}\alpha ^{i}={\binom {\nu }{0}}\alpha ^{0}+{\binom {\nu }{1}}\alpha ^{1}=1+\nu \cdot \alpha .}$

(2)

Ενώνοντας τις σχέσεις (1) και (2), έχουμε ότι

${\displaystyle (1+\alpha )^{\nu }\geq 1+\nu \cdot \alpha .}$

Η πρώτη γενίκευση είναι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό ${\displaystyle \alpha }$, όταν η δύναμη ${\displaystyle \nu }$ είναι ζυγός φυσικός αριθμός (δείτε το διάγραμμα για τις περιπτώσεις ${\displaystyle \nu =2,4}$).

Η παρακάτω γενίκευση είναι για εκθέτες που δεν είναι κατά ανάγκη φυσικοί αριθμοί.

Η παρακάτω επέκταση είναι για όταν οι ${\displaystyle \nu }$ όροι μπορεί να είναι διαφορετικοί. Η ανισότητα αυτή σχετίζεται με την ανισότητα Weierstrass.^[5][6]

Θεώρημα:^[3]: 69 Έστω ${\displaystyle \nu \in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{\nu }\in \mathbb {R} }$ και ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{\nu }\in \mathbb {R} }$. Τότε,

• ${\displaystyle \prod _{i=1}^{\nu }(1+\alpha _{i})^{r_{i}}\leq 1+\sum _{i=1}^{\nu }\alpha _{i}r_{i}}$, όταν ${\displaystyle \alpha _{i}>-1}$ και ${\displaystyle r_{i}\geq 0}$ για κάθε ${\displaystyle 1\leq i\leq \nu }$,
• ${\displaystyle \prod _{i=1}^{\nu }(1+\alpha _{i})^{r_{i}}\leq 1+\sum _{i=1}^{\nu }\alpha _{i}r_{i}}$, όταν ${\displaystyle \alpha _{i}>0}$ ή ${\displaystyle \alpha _{i}\in (-1,0)}$ για κάθε ${\displaystyle 1\leq i\leq \nu }$ και ${\displaystyle r_{i}\leq 0}$ ή ${\displaystyle r_{i}\geq 1}$ για κάθε ${\displaystyle 1\leq i\leq \nu }$.

• «Γενίκευση της ανισότητας Bernulli για εκθέτη τυχόντα πραγματικό. Αξιοσημείωτες εφαρμογές». Ευκλείδης Β΄ (5): 3-5. 1977. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3453. 

• Armitage, D. H. (Δεκεμβρίου 1982). «Two applications of Bernoulli’s inequality». The Mathematical Gazette 66 (438): 309–310. doi:10.2307/3615526. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1982-12_66_438/page/309. 
• Vîjîitu, Horia (Ιουλίου 2019). «103.19 Bernoulli's inequality for negative exponents». The Mathematical Gazette 103 (557): 316–317. doi:10.1017/mag.2019.66. 
• Mortici, Cristinel (Μαρτίου 2015). «A Very Elementary Proof of Bernoulli's Inequality». The College Mathematics Journal 46 (2): 136–137. doi:10.4169/college.math.j.46.2.136. 
• Plaza, Ángel (1 Φεβρουαρίου 2009). «Proof Without Words: Bernoulli's Inequality». Mathematics Magazine 82 (1): 62–62. doi:10.4169/193009809X469093. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2009-02_82_1/page/62. 
• Mercer, Peter R. (15 Μαρτίου 2022). «Extending Extending Bernoulli’s Inequality». The College Mathematics Journal 53 (2): 149–150. doi:10.1080/07468342.2022.2020587. 
• Wiener, Joseph (Νοεμβρίου 1985). «Bernoulli's Inequality and the Number e». The College Mathematics Journal 16 (5): 399–400. doi:10.1080/07468342.1985.11972916. https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_1985-11_16_5/page/399. 
• Gerber, Leon (Οκτωβρίου 1968). «An Extension of Bernoulli's Inequality». The American Mathematical Monthly 75 (8): 875. doi:10.2307/2314344. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1968-10_75_8/page/875.