Το πραγματικό του επώνυμο ήταν Γκούτμαν. Το Χάγιος στα ουγγρικά σημαίνει ναύτης και το απέκτησε λόγω των ικανοτήτων του στο κολύμπι. Από δεκατριών ετών ο πατέρας του τον πετούσε στον Δούναβη και έτσι είχε συνηθίσει να κολυμπάει σε παγωμένα νερά. Αυτό τον βοήθησε στους Ολυμπιακούς αγώνες του 1896, όπου συμμετείχε στην κολύμβηση. Οι αγώνες έγιναν στη Θάλασσα σε χαμηλές θερμοκρασίες. Ήταν χρυσός Ολυμπιονίκης στα 100 μ. ελευθέρας με επίδοση 1.22.2, και στα 1.200 μ. ελευθέρας με επίδοση 18.22.2. Είχε δηλώσει συμμετοχή και στα 500 μ. ελευθέρας, αλλά δεν πήρε τελικά μέρος. Την περίοδο των αγώνων ήταν φοιτητής αρχιτεκτονικής. Ο Χάγιος έλαβε μέρος και στους Ολυμπιακούς αγώνες του 1924 στο Παρίσι στον καλλιτεχνικό διαγωνισμό αρχιτεκτονικού σχεδίου και τιμήθηκε με αργυρό μετάλλιο.
Εκτός από κολυμβητής ήταν και ποδοσφαιριστής[8]: μάλιστα αναδείχτηκε πρωταθλητής Ουγγαρίας με την Budapesti Torna Club (BTC) το 1901[9] και το 1902[10], ενώ αγωνίστηκε και στην Εθνική Ουγγαρίας από το 1901 έως το 1903. Ήταν πρωταθλητής Ουγγαρίας στη δισκοβολία, στα 400 μ. εμπόδια και στα 100 μ. το 1898. Ο αδελφός του, Χένρικ Χάγιος ήταν χρυσός ολυμπιονίκης στα 4x250 μ. στη Μεσοολυμπιάδα του 1906.
Το 1924 πήρε το πτυχίο του στην αρχιτεκτονική και ειδικεύτηκε στις κατασκευές σταδίων, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι το κολυμβητήριο στη Βουδαπέστη, που φέρει το όνομά του, χτίστηκε το 1930 και αποτελεί μέχρι σήμερα το εθνικό κολυμβητήριο της Ουγγαρίας. Το 1953 τιμήθηκε από τη ΔΟΕ με δίπλωμα.
