Ein ∞-Topos ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie die Verallgemeinerung eines (1-kategoriellen) Topos, analog wie eine ∞-Kategorie die Verallgemeinerung einer Kategorie ist. Genau wie ein Topos sich ähnlich wie die Kategorie der Prägarben von Mengen auf einem topologischen Raum verhält, verhält sich ein ∞-Topos ähnlich wie die ∞-Kategorie der Prägarben von Räumen auf einer kleinen ∞-Kategorie. Eingeführt wurden ∞-Topoi von Jacob Lurie in einem Paper im Jahr 2003, welches schließlich erweitert zu seinem Lehrbuch Higher Topos Theory im Jahr 2009 führte.

Jacob Lurie nutzt folgenden Vergleich mit der Algebra, basierend auf der Analogie zwischen Limiten und Kolimiten zu Addition und Multiplikation, da ähnliche Eigenschaften wie etwa das Distributivgesetz erfüllt sind: ∞-Kategorien sind wie Mengen, präsentierbare ∞-Kategorien sind wie abelsche Gruppen und ∞-Topoi sind wie kommutative Ringe.

In diesem Artikel werden ∞-Kategorie durch simpliziale Mengen modelliert. Ähnlich wie es für Topoi mehrere Zugänge und mögliche äquivalente Definitionen gibt, gilt selbiges durch deren Verallgemeinerung auch für ∞-Topoi. So lassen sich beide direkt durch die gewünschte Ähnlichkeit zu einer Prägarbenkategorie oder auch durch inhärente Eigenschaften definieren. Ursprünglich wurde ein ∞-Topos durch die vordere Herangehensweise als eine ∞-Kategorie ${\displaystyle X}$ definiert, für die eine ∞-Kategorie ${\displaystyle C}$ und ein erreichbarer linksexakter Lokalisierungsfunktor ${\displaystyle \operatorname {PSh} (C)\rightarrow X}$ existiert.^[1] Jacob Lurie erforschte daraufhin die Alternative hintere Herangehensweise.

Jacob Lurie zeigte, dass eine ∞-Kategorie genau dann ein ∞-Topos ist, wenn die analogen Forderungen der Giraud-Axiome für Topoi erfüllt sind (deshalb auch ∞-Giraud-Axiome genannt). Diese fordern, dass die ∞-Kategorie präsentierbar ist, Kolimiten universell, Koprodukte disjunkt und alle Gruppoidobjekte effektiv sind.^[2]

• Jacob Lurie: Higher Topos Theory (= Annals of Mathematics Studies. Band 170). Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14049-0, doi:10.48550/arXiv.math/0608040, arxiv:math/0608040v1 (englisch, ias.edu [PDF]). 

• (infinity,1)-topos und (infinity,1)Topos auf nLab (englisch)

1. ↑ Lurie 17, Definition 6.1.0.4
2. ↑ Lurie 17, Theorem 6.1.0.6 und Proposition 6.1.5.3