Bradley studierte zunächst Ingenieurwesen und Chemie und dann Geologie an der Sheffield Scientific School der Yale University, an der er 1920 in Geologie promoviert wurde. Danach war er beim US Geological Survey, wo er die Green-River-Formation des Eozän erforschte, die als potentielle Quelle von Ölschiefer galt. Er wurde zum Experten für diese und publizierte über viele Aspekte der Formation, von der Paläontologie, Geochemie, Paläoklimatologie und Paläolimnologie, Stratigraphie bis zur Mineralogie. 1943 wurde er Chef-Militärgeologe der USA und 1944 Präsident des US Geological Survey. 1970 ging er in Pension. Sein Sterbeort ist nicht eindeutig: neben Bangor wird auch Milbridge genannt. Sein Grab befindet sich auf dem Pigeon Hill Cemetery in Steuben.