Die Weyl-Algebra bezeichnet in der abstrakten Algebra eine nichtkommutative algebraische Struktur, die Differentialoperatoren mit polynomialen Koeffizienten beschreibt. Es handelt sich um eine assoziative Algebra mit nicht-kommutativer Struktur, in der Variablen und Ableitungen festen Vertauschungsregeln folgen. Sie ist nach dem Physiker Hermann Weyl benannt, der sie zur Untersuchung der Heisenbergschen Unschärferelation in der Quantenmechanik einführte.

Die ${\displaystyle n}$-te Weyl-Algebra ${\displaystyle A_{n}}$ ist eine Algebra über einem Körper ${\displaystyle K}$, die von den Erzeugern ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ und ${\displaystyle \partial _{1},\dots ,\partial _{n}}$ mit den Relationen

${\displaystyle [\partial _{i},x_{j}]=\delta _{ij},\qquad [\partial _{i},\partial _{j}]=0,\qquad [x_{i},x_{j}]=0,\qquad }$ für ${\displaystyle i,j=1,\dots ,n}$

erzeugt wird. Dabei bezeichnet ${\displaystyle [a,b]:=ab-ba}$ den Kommutator und ${\displaystyle \delta _{ij}}$ das Kronecker-Delta.^[1][2]

Es handelt sich um eine nicht-kommutative Algebra, denn

${\displaystyle [\partial _{i},x_{j}]=\delta _{ij}\implies \partial _{i}x_{j}=x_{j}\partial _{i}+\delta _{ij}.}$

Man sagt ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle x_{j}}$ (respektive ${\displaystyle \partial _{i}}$ und ${\displaystyle \partial _{j}}$) kommutieren, da ${\displaystyle [x_{i},x_{j}]=0}$.

Die erste Weyl-Algebra ${\displaystyle A_{1}}$ wird durch zwei Elemente ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle \partial }$ mit der Relation

${\displaystyle [\partial ,x]=\partial x-x\partial =1}$

erzeugt. Es gilt außerdem ${\displaystyle A_{0}=K}$.

Bis jetzt wurden den Erzeugern ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ und ${\displaystyle \partial _{1},\dots ,\partial _{n}}$ noch keine Interpretation gegeben und sie wurden als rein abstrakte Symbole betrachtet. Wenn die Charakteristik von ${\displaystyle K}$ aber Null ist, wie es bei ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der Fall ist, dann lassen sich diese Symbole als konkrete Operationen auf dem Polynomring ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ auffassen. Dabei ist ${\displaystyle x_{i}}$ die "Multiplikation mit der Variable ${\displaystyle x_{i}}$" und ${\displaystyle \partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ die "partielle Ableitung nach ${\displaystyle x_{i}}$". In dieser Darstellung wird die Weyl-Algebra zur Algebra der Differentialoperatoren mit polynomialen Koeffizienten und endlicher Ordnung. Deshalb sei nun fortan ${\displaystyle \operatorname {char} (K)=0}$.

Die erste Weyl-Algebra ${\displaystyle A_{1}}$ auf dem Polynomring ${\displaystyle K[x]}$ lässt sich wie folgt verstehen, ein ${\displaystyle a\in A_{1}}$ ist ein Differentialoperator und ein endlicher Ausdruck der Form

${\displaystyle a=\sum _{i,j\geq 0}c_{ij}x^{i}\partial ^{j}}$

mit Koeffizienten ${\displaystyle c_{ij}\in K}$ und nur endlich vielen ${\displaystyle c_{ij}\neq 0}$, wobei ${\displaystyle \partial ^{j}:={\tfrac {d^{j}}{dx^{j}}}}$. In anderen Worten hat jedes ${\displaystyle a\in A_{1}}$ eine eindeutige Darstellung der Form

${\displaystyle a=\sum \limits _{i=0}^{m}f_{i}(x)\partial ^{i}}$

wobei ${\displaystyle f_{i}(x)\in K[x]}$ ein Polynom ist.

Beispiele für Elemente von ${\displaystyle A_{1}}$ sind die Differentialoperatoren

${\displaystyle a=5\partial ^{2}+(3x^{2}+x)\partial -2x\quad }$ und ${\displaystyle \quad b={\tfrac {1}{2}}(\partial ^{2}+\partial ).}$

Sei ${\displaystyle A_{n}}$ die n-te Weyl-Algebra, dann ist ein ${\displaystyle a\in A_{n}}$ ein endlicher Ausdruck der Form

${\displaystyle a=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}}\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}}c_{i_{1},\dots ,i_{n},j_{1},\dots j_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}\partial _{1}^{j_{1}}\cdots \partial _{n}^{j_{1}}}$

oder mit Multiindex-Schreibweise

${\displaystyle a=\sum _{i,j\in \mathbb {N} _{0}^{n}}c_{ij}x^{i}\partial ^{j}}$

wobei ${\displaystyle x^{i}:=x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$ und ${\displaystyle \partial ^{j}:=\partial _{1}^{j_{1}}\cdots \partial _{n}^{j_{n}}}$ und ${\displaystyle \partial _{s}^{j}:={\frac {d^{j}}{dx_{s}^{j}}}}$.

Anstelle von Differentialoperatoren werden für die Weyl-Algebra auch die abstrakteren Derivationen verwendet. Die n-te Weyl-Algebra ${\displaystyle A_{n}}$ ist isomorph zum Tensorprodukt von ${\displaystyle n}$ Kopien der ersten Weyl-Algebren ${\displaystyle A_{1}\otimes A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{1}}$

Weyl-Algebren spielen eine zentrale Rolle in der Darstellungstheorie nilpotenter Lie-Algebren. Sei ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ eine nilpotente Lie-Algebra über dem Körper ${\displaystyle K}$ mit ${\displaystyle \operatorname {char} (K)=0}$ und ${\displaystyle U({\mathfrak {n}})}$ ihre universelle einhüllende Algebra. Sei nun ${\displaystyle I}$ ein Primideal in ${\displaystyle U({\mathfrak {n}})}$, dann gilt

${\displaystyle \left(U({\mathfrak {n}})/I\right)\otimes _{Z}F\cong A_{n}(F),}$

wobei

• ${\displaystyle Z}$ das Zentrum von ${\displaystyle \left(U({\mathfrak {n}})/I\right)}$,
• ${\displaystyle F}$ der Quotientenkörper von ${\displaystyle Z}$,
• ${\displaystyle A_{n}(F)}$ die n-te Weyl-Algebra über ${\displaystyle F}$

ist.^[3]

Für jedes ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ sei ${\displaystyle F(r)}$ die Menge aller Elemente ${\displaystyle P\in A_{n}}$ der Ordnung höchstens ${\displaystyle r}$. Dann definiert man die Ordnungsfiltration der Weyl-Algebra ${\displaystyle A_{n}}$ durch ${\displaystyle F(0)\subset F(1)\subset \cdots \subset A_{n}}$. Es gilt ${\displaystyle 1\in F(0)}$ und ${\displaystyle F(p)F(q)\subset F(q+p)}$ für alle ${\displaystyle p,q\geq 0}$.^[4]

Jacques Dixmier veröffentlichte 1968 sechs grundlegende Fragestellungen zur Weyl-Algebra, wovon einige heute beantwortet sind. Die erste Frage, ob jeder Endomorphismus der ersten Weyl-Algebra ${\displaystyle \varphi :A_{1}\to A_{1}}$ auch ein Automorphismus ist, wird als Dixmier-Vermutung in Dimension ${\displaystyle 1}$ bezeichnet und mit ${\displaystyle DC(1)}$ notiert. Analog wird die Dixmier-Vermutung auf die ${\displaystyle n}$-te Weyl-Algebra ${\displaystyle A_{n}}$ verallgemeinert und mit ${\displaystyle DC(n)}$ notiert, wobei bei einem Beweis gilt

${\displaystyle DC(n)\implies DC(n-1)\implies \cdots \implies DC(1)}$.

2026 wurde die Jacobi-Vermutung in der Dimension ${\displaystyle n\geq 3}$ widerlegt, was auch die Dixmier-Vermutung für die Dimensionen ${\displaystyle n\geq 3}$ widerlegt. Für die Dimensionen ${\displaystyle n=1}$ und ${\displaystyle n=2}$ ist die Dixmier-Vermutung aber nach wie vor offen.^[5]

Das dritte und sechste Problem wurden 1975 von Anthony Joseph gelöst und das fünfte Problem 2005 von Wladimir Bavula. Die restlichen drei Probleme (I, II und IV) sind weiterhin offen.^[6]

1. ↑ Huishi Li: Noncommutative Gröbner Bases and Filtered-Graded Transfer. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. Deutschland 2002, S. 28. 
2. ↑ Jacques Dixmier: Sur les algèbres de Weyl. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. Band 96, 1968, S. 209–242, doi:10.24033/bsmf.1667 (numdam.org). 
3. ↑ Jacques Dixmier: Sur les algèbres de Weyl. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. Band 96, 1968, S. 209, doi:10.24033/bsmf.1667 (numdam.org). 
4. ↑ Arno van den Essen: Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture (= Progress in Mathematics, 190). Birkhauser Verlag, Basel, 2000, S. 296. 
5. ↑ Jacques Dixmier: Sur les algèbres de Weyl. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. Band 96, 1968, S. 241–242, doi:10.24033/bsmf.1667 (numdam.org). 
6. ↑ Vladimir V. Bavula: An analogue of the Conjecture of Dixmier is true for the algebra of polynomial integro-differential operators. In: Journal of Algebra. Band 372, 2012, S. 237–250, doi:10.1016/j.jalgebra.2012.09.009 (sciencedirect.com).