Funktionswerte nicht nach unten springen, dann heißt die Funktion unterhalbstetig in x {\displaystyle x} (oder halbstetig von unten). Sei X {\displaystyle...

abgeschlossene Menge bildet. f {\displaystyle f} ist genau dann schwach unterhalbstetig, wenn der Epigraph von f {\displaystyle f} eine schwach folgenabgeschlossene...

Ist X {\displaystyle X} ein normierter Raum, so gilt: Ein schwach unterhalbstetiges Funktional auf einer schwach folgenkompakten Menge nimmt dort ihr...

topologischer Vektorraum X {\displaystyle X} . Weiter gegeben sei eine unterhalbstetige mengenwertige Abbildung F : Ω → P ( X ) ∖ { ∅ } {\displaystyle F\colon...

: M → R {\displaystyle \phi \colon M\to \mathbb {R} } ein schwach unterhalbstetiges Funktional. Dann nimmt das Funktional ϕ {\displaystyle \phi } auf...

{\displaystyle F(x)=\inf\{F(y)\ |\ y\in X\}} . Γ-Grenzwerte sind stets unterhalbstetig. Γ-Konvergenz ist stabil unter stetiger Störung: Falls ( F n ) {\displaystyle...

f(x_{0},y)\;,\;} für jedes x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} eine unterhalbstetige Funktion. Dann gilt sup x ∈ X inf y ∈ Y f ( x , y ) = inf y ∈ Y sup...

dass g {\displaystyle g} oberhalbstetig sei, dass h {\displaystyle h} unterhalbstetig sei und dass dabei stets die Ungleichung g ( x ) ≤ h ( x ) ( x ∈ X...

quasikonvexe Funktionen auf einem normierten Vektorraum sind immer schwach unterhalbstetige Funktionen. Daher nehmen stetige quasikonvexe Funktionen auf schwach...

nicht mehr stetig bezüglich der schwachen Konvergenz, sondern nur noch unterhalbstetig. Ist also eine Folge ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb...

folgenkompakte Teilmenge K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} sowie eine unterhalbstetige Funktion f : K → R {\displaystyle f\colon K\to \mathbb {R} } . Dann...

{\displaystyle f} ist oberhalbstetig. (c') f {\displaystyle f} ist unterhalbstetig. F. Bernstein und G. Doetsch: Zur Theorie der konvexen Funktionen....

Eigenschaften einer Halbnorm aufweist. Dabei sei p {\displaystyle p} unterhalbstetig und zudem existiere in X {\displaystyle X} eine Teilmenge zweiter Kategorie...

subharmonische Funktion ist und auf ganz R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} unterhalbstetig ist. Die Betrachtung der Fourier-Transformation zeigt, dass das Riesz-Potential...

welches die Existenz eines fast optimalen Punktes für beschränkte, unterhalbstetige Funktionen auf vollständigen, metrischen Räumen garantiert. Das Variationsprinzip...

genau dann schwach folgenabgeschlossen, wenn die Funktion schwach unterhalbstetig ist. Schwach folgenkompakte Menge Johannes Jahn: Introduction to the...

Interpolationssatz von Katětov: Zwischen einer oberhalbstetigen und unterhalbstetigen Funktion auf einem normalen Raum liegt eine stetige. Kathetensatz:...

vollständiger metrischer Raum ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} sowie eine unterhalbstetige und zudem nach unten beschränkte reellwertige Funktion ψ : ( X , d...

Cramér-Funktion genannt) falls Folgendes gilt: 1. I {\displaystyle I} ist unterhalbstetig, d. h. es gilt K l = { x ∈ X : I ( x ) ≤ l } {\displaystyle K_{l}=\{x\in...

auf. Hier liefern sie Existenzaussagen für Extremalstellen. Schwach unterhalbstetige Funktionen nehmen nämlich auf einer schwach folgenkompakten Menge stets...

ist also nicht stetig bezüglich Hausdorff-Konvergenz, sie ist jedoch unterhalbstetig. Höherdimensionale Volumina von Flächen, Körpern etc. sind im Allgemeinen...

die oberhalbstetigen und vom Typ G 1 {\displaystyle G_{1}} – die unterhalbstetigen Funktionen. Es gelten folgende Regeln: Falls η < ξ {\displaystyle...

oberhalbstetig und beschränkt nach oben. (2) v {\displaystyle v} ist unterhalbstetig und beschränkt nach unten. (3) u ( x ) ≤ f ( x ) ≤ v ( x ) ( ∀ x ∈...

}^{1}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)} , dann ist M f {\displaystyle Mf} unterhalbstetig. Für f ∈ L 1 ( R N ) {\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{N})} und...

derart, dass f {\displaystyle f} oberhalbstetig und g {\displaystyle g} unterhalbstetig ist und dass stets die Ungleichung f ( x ) < g ( x ) ( x ∈ X ) {\displaystyle...

{\displaystyle f({\cdot },y)\colon X\to \mathbb {R} \;,\;x\mapsto f(x,y)\;,\;} unterhalbstetig. Dann gilt inf x ∈ X sup y ∈ Y f ( x , y ) = sup ϕ ∈ C ( X , Y ) inf...