Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller positiven Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.[1]
Beispiel:
- Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme von 6 lautet also .
Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle,
z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.
Definitionen
Definition 1: Summe aller Teiler
Sind alle Teiler der natürlichen Zahl , so nennt man die Teilersumme von . Dabei sind 1 und selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.
Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:
- .
Definition 2: Summe der echten Teiler
Die Summe der echten Teiler der natürlichen Zahl ist die Summe der Teiler von ohne die Zahl selbst.
Beispiel:
- .
Es gilt die Beziehung
- .
Definition 3: defizient, abundant, vollkommen
Eine natürliche Zahl heißt
- defizient oder teilerarm, wenn ,
- abundant oder teilerreich, wenn ,
- vollkommen, wenn .[2]
Beispiele:
- , d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.
- , d. h. 12 ist abundant.
- , d. h. 10 ist defizient.
Eigenschaften der Teilersumme
Satz 1: Teilersumme einer Primzahl
Für jede Primzahl gilt
- .
Beweis: Per Definition hat nur die Teiler und . Daraus folgt die Behauptung.
Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl
Sei eine Primzahl und . Dann gilt für die Potenz :
- .
Beweis: Da eine Primzahl ist, hat nur die Teiler . Diese Zahlen bilden eine geometrische Folge. Aus der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe folgt sofort die Behauptung.
Beispiel:
Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen
Seien und verschiedene Primzahlen. Dann gilt
- .
Beweis: Die Zahl besitzt genau die Teiler und . Daraus folgt
- .
Beispiel:
Satz 4: Teilersumme des Produkts von zwei teilerfremden Zahlen
Sind und teilerfremde Zahlen, so gilt
- .[3]
Die Teilersummenfunktion ist also multiplikativ.
Beispiel:
Satz 5: Teilersumme einer in Primfaktoren zerlegten Zahl
Sei mit der Primfaktorzerlegung . Dann gilt
- .[4]
Beispiel:
Satz von Thabit
Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit (benannt nach Thabit ibn Qurra) aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:
Für eine natürliche Zahl seien und .
Wenn , und Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen und befreundet, d. h. und .
- Beweis
Analog zeigt man .
Teilersumme als endliche Reihe
Für jede natürliche Zahl kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften
von explizit Bezug genommen wird:
Beweis:
Die Funktion
wird 1, wenn ein Teiler von ist, ansonsten bleibt sie Null.
Sei nämlich ein Teiler von . Dann ist der Quotient ganzzahlig, somit ist gleich 1. Die Summation über ergibt , woraus folgt.
Sei nun kein Teiler von .
Es gilt dann
Damit ist gezeigt, dass genau dann gleich 1 ist, wenn ein Teiler von ist, und ansonsten verschwindet.
Multipliziert man jetzt mit und summiert das Produkt über alle Werte bis , so entsteht nur dann ein Beitrag zur Summe, wenn ein Teiler von ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion
deren Spezialfall die einfache Teilersumme ist.
Siehe auch
Literatur
- Paul Erdős, János Surányi: Topics in the Theory of Numbers. (= Undergraduate Texts in Mathematics). 2. Auflage. Springer Verlag, New York, NY (u. a.) 2003, ISBN 0-387-95320-5 (Aus dem Ungarischen übersetzt von Barry Guiduli).
- József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9.
- József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. II. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2004, ISBN 1-4020-2546-7.
- Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland, Amsterdam / New York 1988, ISBN 0-444-86662-0.
- Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. Beispiele, Geschichte, Algorithmen. 2. Auflage. Springer, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07170-7.
Einzelnachweise
- ↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 35.
- ↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 37.
- ↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 36.
- ↑ G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975, ISBN 0-19-853310-1, S. 239.