Zwischen 2002 und 2021 war Stöbe 23 Mal in achtzehn verschiedenen Ländern für Ärzte ohne Grenzen im ehrenamtlichen, mehrwöchigen ärztlichen Einsatz. Darüber hinaus stattete er zwischen 2005 und 2018 in achtzehn Ländern sogenannte Field Visits ab, um mit lokalen Teams Lagebesprechungen abzuhalten. Seit 2004 war Stöbe Vorstandsmitglied der deutschen Sektion von Ärzte ohne Grenzen, von 2007 bis 2015 war er deren Präsident. Von 2005 bis 2015 gehört er dem Vorstand des Operationalen Zentrums Amsterdam an, 2015 wurde er in den Internationalen Vorstand der Organisation gewählt, dem er bis 2018 angehörte.
Durch Projekteinsätze auf einem Rettungsschiff der Organisation im Mittelmeer 2015 und wiederholt in Libyen, erlebte Stöbe die direkten und tödlichen Auswirkungen von Flucht und Vertreibung. Im Januar 2020 koordinierte Stöbe Corona-Hilfsaktionen von Ärzte ohne Grenzen in Asien. Durch weitere Einsätze im Jemen und Malawi konnte er die Pandemie-Entwicklung und die verheerenden Auswirkungen des Virus in verschiedenen Kontexten beobachten. Abseits seiner Einsätze für Ärzte ohne Grenzen arbeitet Tankred Stöbe als Notarzt und Intensivmediziner in Berlin.
Die Bundesärztekammer zeichnete 2016 mit Stöbe „im Namen der deutschen Ärzteschaft einen Mediziner für seine ärztliche Haltung und seine unerschütterliche Einsatzbereitschaft“ mit der Paracelsus-Medaille aus, ihrer höchsten Auszeichnung. Er habe „weltweit zahllose Menschenleben gerettet und sich damit national und international auch um das Ansehen der deutschen Ärzteschaft in hervorragender Weise verdient gemacht.“
