Bakócz entstammte einer Familie des ungarischen Kleinadels und wurde in Erdőd im Komitat Szatmár geboren. Er wurde von seinem Onkel Bálint Bákocz adoptiert, der ihm eine Ausbildung zum Priester ermöglichte. Tamás Bakócz studierte Rechtswissenschaften in Breslau und an der Universität Padua. Später wurde er einer der Sekretäre von Matthias Corvinus, der ihn 1486 zum Bischof von Győr ernannte. 1490 wurde er Mitglied des Kronrates und Kanzler. Danach wurde er Bischof von Zagreb.
Unter Vladislav II. erhielt er als Bischof von Eger eines der reichsten Bistümer Ungarns. 1497 wurde er Erzbischof von Esztergom und damit Primas von Ungarn. Von 1490 bis zu seinem Tod 1521 war er Kanzler des Königreichs Ungarn und verantwortlich für die Außenpolitik des Landes. Dabei diente ihm als Schreiber Lazarus Secretarius.
Nach dem Tod von Vladislav II. (1516) verlor er an politischem Einfluss. Die letzten Jahre seines Lebens war er so krank, dass er sein Haus nicht mehr verlassen konnte. Als er am 15. Juni 1521 starb, hinterließ er seinen Verwandten (die sich nach seinem Geburtsort Grafen Erdődy nannten) ein Millionenvermögen.
