Ein (schwach) stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie und insbesondere der Yang-Mills-Theorie ein spezielles Yang-Mills-Higgs-Paar, um welches die Yang-Mills-Higgs-Wirkung positiv oder sogar strikt positiv gekrümmt ist. Yang-Mills-Higgs-Paare sind Lösungen der Yang-Mills-Higgs-Gleichungen oder äquivalent lokale Extrema der Krümmung beider Felder, also kritische Punkte der Yang-Mills-Higgs-Wirkung, und werden daher festgelegt durch eine verschwindende erste Ableitung einer Variation. (Schwach) stabile Yang-Mills-Higgs-Paare haben darüber hinaus eine positiv oder sogar strikt positiv gekrümmte Umgebung und werden daher festgelegt durch eine positive oder sogar strikt positive zweite Ableitung einer Variation.

Sei ${\displaystyle G}$ eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ und ${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$ ein ${\displaystyle G}$-Hauptfaserbündel, wobei ${\displaystyle B}$ eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik ${\displaystyle g}$ und Volumenform ${\displaystyle \operatorname {vol} _{g}}$ ist. Sei ${\displaystyle \operatorname {Ad} (E)=E\times _{G}{\mathfrak {g}}}$ das adjungierte Bündel. ${\displaystyle \Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ ist der Raum der Zusammenhänge,^[1] welche entweder unter der adjungierten Darstellung ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ invariante Lie-Algebra-wertige oder vektorbündelwertige Differentialformen sind. Da der Hodge-Stern-Operator ${\displaystyle \star }$ mit der Metrik ${\displaystyle g}$ und der Volumenform ${\displaystyle \operatorname {vol} _{g}}$ auf der Basismannigfaltigkeit ${\displaystyle B}$ definiert ist, wird gewöhnlich der zweite Raum benutzt.

Die Yang-Mills-Higgs-Wirkung ist gegeben durch:^[2]

${\displaystyle \operatorname {YMH} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YMH} (A,\Phi ):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}+\|\mathrm {d} _{A}\Phi \|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.}$

Ein Yang-Mills-Higgs-Paar ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ und ${\displaystyle \Phi \in \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))}$, also welche die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen erfüllen, wird stabil genannt, wenn:^[3][4][5]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\operatorname {YMH} (\alpha (t),\varphi (t))\vert _{t=0}>0}$

für alle glatte Familien ${\displaystyle \alpha \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ mit ${\displaystyle \alpha (0)=A}$ und ${\displaystyle \varphi \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))}$ mit ${\displaystyle \varphi (0)=\Phi }$ gilt. ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle \Phi }$ werden schwach stabil genannt, wenn ${\displaystyle \geq 0}$ gilt. Ein Yang-Mills-Higgs-Paar, welches nicht schwach stabil ist, wird instabil genannt. Zum Vergleich ist die Bedingung für ein Yang-Mills-Higgs-Paar gegeben durch:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {YMH} (\alpha (t),\varphi (t))\vert _{t=0}=0.}$

• Sei ${\displaystyle (A,\Phi )}$ ein stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar auf ${\displaystyle S^{n}}$, dann gelten die folgenden Behauptungen:^[5]
  • Ist ${\displaystyle n=4}$, dann ist ${\displaystyle A}$ ein Yang-Mills-Zusammenhang (${\displaystyle \mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0}$) sowie ${\displaystyle \mathrm {d} _{A}\Phi =0}$ und ${\displaystyle \|\Phi \|=1}$.
  • Ist ${\displaystyle n\geq 5}$, dann ist ${\displaystyle A}$ flach (${\displaystyle F_{A}=0}$) sowie ${\displaystyle \mathrm {d} _{A}\Phi =0}$ und ${\displaystyle \|\Phi \|=1}$.

• Stabiler Yang-Mills-Zusammenhang

• stable Yang-Mills-Higgs pair auf nLab (englisch)

1. ↑ Santiago Quintero de los Ríos: Connections on principal bundles. In: homotopico.com. 16. Dezember 2020, abgerufen am 9. November 2024 (englisch, Theorem 3.7). 
2. ↑ Lecture 3: The Yang–Mills equations. In: empg.maths.ed.ac.uk. Abgerufen am 24. November 2024 (englisch). 
3. ↑ Zhi Hu, Sen Hu: Degenerate and Stable Yang-Mills-Higgs Pairs. In: arxiv.org. 6. Februar 2015, abgerufen am 28. Oktober 2024 (englisch, 1502.01791). 
4. ↑ Da Rong Cheng: Stable Solutions to the Abelian Yang–Mills–Higgs Equations on S2 andT2. In: The Journal of Geometric Analysis. 31. Jahrgang, 2021, S. 9551–9572, Definition 3.1, doi:10.1007/s12220-021-00619-y (englisch, springer.com [PDF; abgerufen am 27. Oktober 2024]). 
5. ↑ ^{a b} Xiaoli Han, Xishen Jin, Yang Wen: Stability and energy identity for Yang-Mills-Higgs pairs. In: Journal of Mathematical Physics. 64. Jahrgang, 1. März 2023, arxiv:2303.00270 (englisch).