Eine Spinʰ-Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Spin-Geometrie, wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, eine Lie-Gruppe, welche durch Vertwistung der Spin-Gruppe mit der ersten symplektischen Gruppe entsteht. H steht dabei für die Quaternionen, welche mit notiert werden. Eine zentrale Anwendung finden Spinʰ-Gruppen in der Definition von Spinʰ-Strukturen.
Definition
Die Spin-Gruppe ist eine doppelte Überlagerung der speziellen orthogonalen Gruppe und entsprechend wirkt auf dieser mit . Auf der ersten symplektischen Gruppe wirkt ebenfalls durch die antipodale Identifikation . Die Spinʰ-Gruppe ist nun definiert durch:[1]
mit . Üblich ist auch die Notation . Mit dem exzeptionellen Isomorphismus gilt insbesondere mit:
Niedrigdimensionale Beispiele
- , induziert vom Isomorphismus .
- , induziert vom exzeptionellen Isomorphismus . Da außerdem , ist auch .
Eigenschaften
Die Homotopiegruppen der Spinʰ-Gruppen lassen sich über die lange exakte Sequenz der Homotopiegruppen[2] des Faserbündels berechnen und sind gegeben durch:
für . Dabei wurde genutzt, dass bei einer Überlagerung wie die höheren Homotopiegruppen über der Fundamentalgruppe übereinstimmen.
Literatur
Einzelnachweise
- ↑ Bär 1999, Seite 16
- ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge 2001, ISBN 978-0-521-79160-1, S. 376, Theorem 4.41 (englisch, cornell.edu).