Das Spaltungsprinzip ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein Resultat zur Auftrennung von reellen und komplexen Vektorbündeln in wesentlich einfacher zu verstehende Whitney-Summen von reellen und komplexen Geradenbündeln unter Verwendung der Konstruktion des zurückgezogenen Vektorbündels. Insbesondere bei der Berechnung von charakteristischen Klassen, vor allem den Stiefel-Whitney-Klassen, Chern-Klassen und Pontrjagin-Klassen, ist das Spaltungsprinzip hilfreich aufgrund teils enormer Vereinfachung der Berechnungen. Ein mit dem Spaltungsprinzip verwandtes Resultat ist der Satz von Birkhoff-Grothendieck, gemäß dem holomorphe Vektorbündel über der Riemannschen Zahlenkugel sogar ohne Rückzug in holomorphe Geradenbündel zerfallen.

Das reelle Spaltungsprinzip beschreibt reelle Vektorbündel ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$ (mit Rang ${\displaystyle \operatorname {rk} (E)=n}$) über parakompakten Räumen ${\displaystyle X}$ und singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$. Es besagt, dass es stets einen topologischen Raum ${\displaystyle Y}$, verwendet werden kann dabei das reelle Flaggenbündel ${\displaystyle \operatorname {Fl} (E)}$, sowie eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon Y\rightarrow X}$ gibt, sodass die induzierte Abbildung ${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y,\mathbb {Z} _{2})\rightarrow H^{*}(X,\mathbb {Z} _{2})}$ auf den ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-Kohomologieringen injektiv ist und der Rückzug ${\displaystyle f^{*}E\twoheadrightarrow Y}$ in eine reelle Whitney-Summe aus reellen Linienbündeln ${\displaystyle L_{1},\ldots ,L_{n}\twoheadrightarrow Y}$ zerfällt:^[1]

${\displaystyle f^{*}E\cong L_{1}\oplus \ldots \oplus L_{n}.}$

Angewendet wird das reelle Spaltungsprinzip bei der Berechnung von Stiefel-Whitney Klassen. Da die totale Stiefel-Whitney-Klasse mit Rückzügen kommutiert,^[2] Whitney-Summen in Cup-Produkte umwandelt^[3][2] und für reelle Linienbündel nur die erste Stiefel-Whitney-Klasse nicht automatisch trivial ist, folgt aus dem reellen Spaltungsprinzip:

${\displaystyle f^{*}w(E)=w(f^{*}E)=w(L_{1}\oplus \ldots \oplus L_{n})=w(L_{1})\smile \ldots \smile w(L_{n})=(1+w_{1}(L_{1}))\smile \ldots \smile (1+w_{1}(L_{n})).}$

Auf der rechten Seite kann der Ausdruck nun ausmultipliziert werden und liegt laut der linken Seite im Bild von ${\displaystyle f^{*}}$, welches aus dem Endergebnis aufgrund von dessen Injektivität entfernt werden kann. Übrig bleibt ein Ausdruck für die gesuchte totale Stiefel-Whitney-Klasse ${\displaystyle w(E)\in H^{*}(X,\mathbb {Z} _{2})}$.

Das komplexe Spaltungsprinzip beschreibt komplexe Vektorbündel ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$ (mit Rang ${\displaystyle \operatorname {rk} (E)=n}$) über parakompakten Räumen ${\displaystyle X}$ und singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Es besagt, dass es stets einen topologischen Raum ${\displaystyle Y}$, verwendet werden kann dabei das komplexe Flaggenbündel ${\displaystyle \operatorname {Fl} (E)}$, sowie eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon Y\rightarrow X}$ gibt, sodass die induzierte Abbildung ${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{*}(X,\mathbb {Z} )}$ auf den ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Kohomologieringen injektiv ist und der Rückzug ${\displaystyle p^{*}E\twoheadrightarrow Y}$ in eine komplexe Whitney-Summe aus reellen Linienbündeln ${\displaystyle L_{1},\ldots ,L_{n}\twoheadrightarrow Y}$ zerfällt:^[1]

${\displaystyle f^{*}E\cong L_{1}\oplus \ldots \oplus L_{n}.}$

Angewendet wird das komplexe Spaltungsprinzip bei der Berechnung von Chern-Klassen. Da die totale Chern-Klasse mit Rückzügen kommutiert,^[4] Whitney-Summen in Cup-Produkte umwandelt^[4] und für komplexe Linienbündel nur die erste Chern-Klasse nicht automatisch trivial ist, folgt aus dem komplexen Spaltungsprinzip:^[5]

${\displaystyle f^{*}c(E)=c(f^{*}E)=c(L_{1}\oplus \ldots \oplus L_{n})=c(L_{1})\smile \ldots \smile c(L_{n})=(1+c_{1}(L_{1}))\smile \ldots \smile (1+c_{1}(L_{n})).}$

Auf der rechten Seite kann der Ausdruck nun ausmultipliziert werden und liegt laut der linken Seite im Bild von ${\displaystyle p^{*}}$, welches aus dem Endergebnis aufgrund von dessen Injektivität entfernt werden kann. Übrig bleibt ein Ausdruck für die totale Chern-Klasse ${\displaystyle c(E)\in H^{*}(X,\mathbb {Z} )}$. Die komplexen Linienbündel oder äquivalent ihre ersten Chern-Klassen werden auch Chern-Wurzeln genannt.

Das komplexifizierte Spaltungsprinzip beschreibt die Komplexifizierung ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} \twoheadrightarrow X}$ von reellen Vektorbündeln ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$ (mit geradem Rang ${\displaystyle \operatorname {rk} (E)=2n}$) über parakompakten Räumen ${\displaystyle X}$ und singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Es besagt, dass es stets einen topologischen Raum ${\displaystyle Y}$ sowie eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon Y\rightarrow X}$ gibt, sodass die induzierte Abbildung ${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{*}(X,\mathbb {Z} )}$ auf den ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Kohomologieringen injektiv ist und der Rückzug ${\displaystyle f^{*}(E\otimes \mathbb {C} )\cong (f^{*}E)\otimes \mathbb {C} \twoheadrightarrow Y}$ in eine komplexe Whitney-Summe aus reellen komplexen Linienbündeln ${\displaystyle L_{1},\ldots ,L_{n}\twoheadrightarrow Y}$ und deren konjugierten komplexen Linienbündeln zerfällt:

${\displaystyle f^{*}(E\otimes \mathbb {C} )\cong L_{1}\oplus {\overline {L_{1}}}\oplus \ldots \oplus L_{n}\oplus {\overline {L_{n}}}.}$

Angewendet wird es bei der Berechnung von Pontrjagin-Klassen, nämlich genau den geraden Chern-Klassen von komplexifierten reellen Vektorbündeln. Da sich dadurch die obigen Eigenschaften der Chern-Klassen direkt auf die Pontrjagin-Klassen übertragen, folgt aus dem komplexifizierten Spaltungsprinzip:

${\displaystyle f^{*}p(E)=f^{*}c(E\otimes \mathbb {C} )\cong c(L_{1}\oplus {\overline {L_{1}}}\oplus \ldots \oplus L_{n}\oplus {\overline {L_{n}}})=(1-c_{1}^{2}(L_{1}))\smile \ldots \smile (1-c_{1}^{2}(L_{n}))}$

• John Milnor und James Stasheff: Characteristic Classes (= Annals of Mathematics Studies. Band 76). Princeton University Press und University of Tokyo Press, Princeton und Tokyo 1974, ISBN 978-0-691-08122-9, doi:10.1515/9781400881826 (englisch, ed.ac.uk [PDF]). 
• Allen Hatcher: Vector Bundles and K-Theory. (englisch, cornell.edu [PDF]). 

1. ↑ ^{a b} Hatcher 17, S. 63
2. ↑ ^{a b} Hatcher 17, Thrm. 3.1
3. ↑ Milnor & Stasheff 74, S. 93
4. ↑ ^{a b} Hatcher 17, Thrm. 3.2
5. ↑ Milnor & Stasheff 1974, S. 189