In der mehrdimensionalen Analysis, der Vektorrechnung und der Differentialgeometrie ist ein skalares Feld (kurz Skalarfeld) eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes eine reelle Zahl (Skalar) zuordnet, z. B. eine Temperatur.^[1]

Skalarfelder sind von großer Bedeutung in der Feldbeschreibung der Physik^[2] und in der mehrdimensionalen Vektoranalysis.^[3]

Ein Skalarfeld ${\displaystyle \varphi }$ bildet jeden Punkt ${\displaystyle p}$ einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ auf einen Skalar ${\displaystyle \varphi (p)}$ ab.

Man unterscheidet dabei zwischen reellwertigen Skalarfeldern

${\displaystyle \varphi \colon M\to \mathbb {R} }$

und komplexwertigen Skalarfeldern

${\displaystyle \varphi \colon M\to \mathbb {C} }$.

Man spricht von einem stationären Skalarfeld, wenn die Funktionswerte nur vom Ort abhängen. Hängen sie auch von der Zeit ab, handelt es sich um ein instationäres Skalarfeld.^[4]

Beispiele für Skalarfelder in der Physik sind der Luftdruck, die Temperatur, Dichte oder allgemein Potentiale (auch als Skalarpotentiale bezeichnet).^[2][5]

Wichtige Operationen im Zusammenhang mit Skalarfeldern sind:^[4]

• Gradient eines Skalarfeldes, der ein Vektorfeld ist.
• Richtungsableitung eines Skalarfeldes.

Im Gegensatz zum Skalarfeld ordnet ein Vektorfeld jedem Punkt einen Vektor zu. Ein Skalarfeld ist das einfachste Tensorfeld.^[4]

1. ↑ Ziya Şanal: Mathematik für Ingenieure: Grundlagen – Anwendungen in Maple. Springer, 2015, ISBN 978-3-658-10642-3, S. 550. 
2. ↑ ^{a b} Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf: Theoretische Physik. Springer, 2014, ISBN 978-3-642-54618-1, S. 31, 35, 274. 
3. ↑ Paul C. Matthews: Vector Calculus (= Springer Undergraduate Mathematics Series). Springer, 2000, ISBN 978-3-540-76180-8, 1.6 Scalar fields and vector fields. 
4. ↑ ^{a b c} Hans Karl Iben: Tensorrechnung – Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-84792-8, 4.2 Gradient, Divergenz und Rotation von Tensorfeldern. 
5. ↑ Josef Betten: Elementare Tensorrechnung für Ingenieure: Mit zahlreichen Übungsaufgaben und vollständig ausgearbeiteten Lösungen. Springer, 2013, ISBN 978-3-663-14139-6, S. 112.