Von 1879 bis zu seinem Tod 1887 saß Quast als Abgeordneter des Wahlkreises Potsdam 2 (Ruppin, Templin) im Preußischen Abgeordnetenhaus. Er gehörte der Fraktion der Konservativen Partei an. Während des gesamten Zeitraums war er Schriftführer des Parlaments.
Quast starb auf einer Reise durch Kleinasien. Seine letzte Ruhe fand er auf dem Campo Santo in Radensleben, den 1854 sein Vater angelegt hatte.
Bernhard Mann: Biographisches Handbuch für das Preußische Abgeordnetenhaus 1867–1918 (= Handbücher zur Geschichte des Parlamentarismus und der Politischen Parteien. Band 3). Droste, Düsseldorf 1988, ISBN 3-7700-5146-7, S. 308.