Der Scottish FA Cup wurde 1959/60 zum 75. Mal ausgespielt. Der wichtigste Fußball-Pokalwettbewerb im schottischen Vereinsfußball wurde vom Schottischen Fußballverband geleitet und ausgetragen. Er begann am 30. Januar 1960 und endete mit dem Finale am 23. April 1960 im Hampden Park von Glasgow. Als Titelverteidiger startete der FC St. Mirren in den Wettbewerb, der im Finale des Vorjahres gegen den FC Aberdeen gewann. Im diesjährigen Endspiel um den Schottischen Pokal standen sich die Glasgow Rangers und der FC Kilmarnock gegenüber. Für die Rangers war es das insgesamt 23. Endspiel seit 1894. Die Killies erreichten zum siebten Mal das Finale seit 1898. Die Rangers gewannen das Endspiel mit 2:0. Es war der erste Pokalsieg seit 1953 und der 15. insgesamt für den Verein aus Glasgow. Der FC Kilmarnock verlor nach 1932, 1898 und 1957 das vierte Endspiel in Folge. In der Saison 1959/60 wurden die Rangers Tabellendritter, Kilmarnock Vizemeister. Schottischer Meister und Ligapokalsieger wurde Heart of Midlothian. Als Pokalsieger nahmen die Rangers in der folgenden Saison am Europapokal der Pokalsieger teil und verloren das Finale gegen den die AC Florenz aus Italien.
Ausgetragen wurden die Begegnungen zwischen dem am 13. und 29. Februar 1960. Die Wiederholungsspiele fanden zwischen dem 17. Februar und 1. März 1960 statt.
