Satz von Frobenius (Differentialtopologie)

In der Mathematik gibt der Satz von Frobenius eine leicht nachzuprüfende, äquivalente Bedingung für die vollständige Integrierbarkeit von Hyperebenenfeldern, also für die Existenz einer maximalen Menge unabhängiger Lösungen zu einem unterbestimmten System partieller Differentialgleichungen.

Es wurde 1877 von Ferdinand Georg Frobenius bewiesen.^[1] Er behandelt darin das Pfaffsche Problem für den Fall, dass die Jacobi-Determinante des Systems und einiger Untersysteme verschwindet.

Vollständige Integrierbarkeit

Ein Untervektorbündel

F\subset TM

des Tangentialbündels einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit heißt vollständig integrierbar (oft auch nur integrierbar), wenn es eine Blätterung ${\mathcal {F}}$ von $M$ mit

F=T{\mathcal {F}}

gibt.

Satz von Frobenius

Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Der Satz von Frobenius besagt, dass ein Untervektorbündel $F\subset TM$ genau dann vollständig integrierbar ist, wenn die Vektorfelder mit Werten in $F$ eine Lie-Unteralgebra der Lie-Algebra aller Vektorfelder bilden, wenn also der Kommutator zweier $F$ -wertiger Vektorfelder wieder Werte in $F$ hat.

Der Satz gilt unverändert unter der Annahme, dass $M$ eine (unendlichdimensionale) Banach-Mannigfaltigkeit ist.^[2]

Formulierung mittels Differentialformen

Sei $\Omega (M)$ der Ring der Differentialformen auf $M$ . Zum Untervektorbündel $F\subset TM$ betrachte man das Ideal

I(F):=\left\{\alpha \in \Omega (M)\mid \forall \ v\in F\colon \iota _{v}\alpha =0\right\}=\left\{\alpha \in \Omega (M)\mid \forall \ v\in F\colon \alpha (v,.,\dotsc ,.)\cong 0\right\}

Dann ist der Satz von Frobenius äquivalent zu folgender Aussage:

$F\subset TM$ ist genau dann vollständig integrierbar, wenn $I(F)$ abgeschlossen unter der äußeren Ableitung ist, wenn also aus $\alpha \in I(F)$ stets ${\text{d}}\alpha \in I(F)$ folgt.

Lokale Beschreibung

In lokalen Koordinaten auf einer offenen Teilmenge $U\subset M$ lässt sich ein Hyperebenenfeld der Kodimension $k$ durch $k$ 1-Formen $\omega _{1},\dotsc ,\omega _{k}$ beschreiben, die $I(F)$ erzeugen. Das Hyperebenfeld ist dann also auf $U$ genau dann integrierbar, wenn es 1-Formen $\eta _{ij}$ mit

{\text{d}}\omega _{i}=\Sigma _{j}\eta _{ij}\wedge \omega _{j}

gibt.

Dies wiederum ist mit

\Omega :=\omega _{1}\wedge \ldots \wedge \omega _{k}

äquivalent zu jeder der folgenden Bedingungen:

Für $i=1,\dotsc ,k$ gilt

d\omega _{i}\wedge \Omega =0

Es gibt eine 1-Form $\alpha$ mit

{\text{d}}\Omega =\alpha \wedge \Omega

Es gibt lokal definierte Funktionen $f_{ij},g_{j}\;(i,j=1,\dotsc ,k)$ mit

\omega _{i}=\Sigma _{j}f_{ij}dg_{j}

Beispiel

Wenn $F$ ein 1-dimensionales Hyperebenenfeld (also ein Geradenfeld) ist, dann sind alle Kommutatoren $F$ -wertiger Vektorfelder Null, die Voraussetzung des Satzes von Frobenius also trivialerweise erfüllt. Man erhält, dass jedes Geradenfeld integrierbar ist. Dies folgt aber bereits direkt aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen, der ebenfalls beim Beweis des Satzes von Frobenius verwendet wird.

Literatur

Shlomo Sternberg: Lectures on differential geometry. Second edition. With an appendix by Sternberg and Victor W. Guillemin. Chelsea Publishing Co., New York 1983. ISBN 0-8284-0316-3.

Weblinks

Yum Tong Siu: Partial differential equations with compatibility conditions. Seminar Harvard, 2014, PDF (Zugriff verweigert).

Einzelnachweise

↑ Frobenius: Über das Pfaffsche Problem. Journal für Reine und Angewandte Mathematik, Band 82, 1877, S. 230–315, Digitalisat.
↑ R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 326 ff.

Read other articles:

Commuter Line Tanjung Priuk

Commuter Line Tanjung PriukKRL Tokyo Metro 05 dengan livery abu-abu-merah-putih di Stasiun Ancol.IkhtisarJenisKereta komuterSistemCommuter LineStatusBeroperasiLokasiJakarta BaratJakarta UtaraTerminusStasiun Jakarta KotaStasiun Tanjung PriukStasiun5Layanan1Situs webhttp://www.krl.co.id/OperasiDibuka1924; 100 tahun lalu (1924) 5 Desember 2011; 12 tahun lalu (2011-12-05) (sebagai 'Pink Line')21 Desember 2015; 8 tahun lalu (2015-12-21) (beroperasi penuh)PemilikPT Kereta Api Indones...

William Rehnquist

William Hubbs Rehnquist (1 Oktober 1924–3 September 2005) adalah seorang pengacara Amerika Serikat yang menjadi Ketua Mahkamah Agung (Chief Justice) Amerika Serikat yang ke-16. Ia menjabat dari tahun 1986 hingga tahun 2005. Rehnquist bekerja sebagai seorang pegawai hukum bagi Hakim Robert H. Jackson dan sebagai Asisten Jaksa Agung pada masa pemerintahan Presiden Richard Nixon. Pada tahun 1971 Nixon mengangkatnya menjadi Hakim Agung di Mahkamah Agung Amerika Serikat. Pada 1986, Ronald Reagan...

Festus (historian)

4th-century Roman historian Not to be confused with Postumius Rufius Festus Avienius or Sextus Pompeius Festus. Title Page of Festus' Breviarium (Rome, 1819) Festus (died 3 January 380) was a Late Roman historian.[1] His name appears in some manuscripts as Rufius Festus, Rufus Festus, Sextus Rufus or Sextus Festus, but they appear to be corruptions.[2] He is mainly known as the author of an epitome titled Breviarium rerum gestarum populi Romani (Summary of the accomplishments ...

John Maynard Keynes

Keynes beralih ke halaman ini. Untuk kegunaan lain, lihat Keynes (disambiguasi). Artikel ini bukan mengenai John Neville Keynes. John Maynard KeynesKeynes tahun 1933Lahir(1883-06-05)5 Juni 1883Cambridge, Cambridgeshire, InggrisMeninggal21 April 1946(1946-04-21) (umur 62)Tilton, dekat Firle, Sussex, InggrisInstitusiKing's College, CambridgeBidangEkonomi politikPeluangMazhabEkonomi KeynesianAlma materKing's College, CambridgeDipengaruhiAdam Smith, Thomas Malthus, Alfred Marshall, Arth...

1940 United States Senate election in Vermont

Not to be confused with 1940 United States Senate special election in Vermont. 1940 United States Senate election in Vermont ← 1934 November 5, 1940 (1940-11-05) 1946 → Nominee Warren Austin Ona Searles Party Republican Democratic Popular vote 93,283 47,101 Percentage 66.45% 33.55% U.S. senator before election Warren Austin Republican Elected U.S. Senator Warren Austin Republican Elections in Vermont Federal government Presidential elections 1...

Ganja, Azerbaijan

Untuk ganja sebagai nama tumbuhan lihat: Ganja Ganja Kotapraja: Ganja Luas: 1000 km² Ketinggian: 408 m Populasi: 308,461 census 2007 [1] Diarsipkan 2008-06-17 di Wayback Machine. Kode pos: AZ2000-2024 Kode telepon: 016 Kotapraja: GA Garis lintang: 40° 40' 58 N Garis bujur: 46° 21' 38 E Wali kota: Eldar Azizov Ganja IPA: [ɟæn'ʤæ] (bahasa Azerbaijan: Gəncə, bahasa Persia: گنجه / Ganjeh) adalah kota terbesar kedua di Azerbaijan. Orang terkenal Nizami Ganjavi Mahsati Ganjav...

Hymn for the Weekend

Hymn for the WeekendLagu oleh Coldplaydari album A Head Full of DreamsDirilis25 Januari 2016FormatUnduhan digitalGenreR&B Pop dansaDurasi4:18LabelParlophonePenciptaGuy Berryman Jonny Buckland Will Champion Chris MartinProduserRik Simpson Stargate Digital Divide AviciiVideo musikHymn for the Weekend di YouTube Hymn for the Weekend (Indonesia: Himne untuk Akhir Pekancode: id is deprecated ) adalah sebuah lagu oleh band rock asal Britania Raya, Coldplay dan dilengkapi dengan vokal tanpa kre...

Pemilihan umum Bupati Ngada 2024

Pemilihan umum Bupati Ngada 20242020202927 November 2024Kandidat Peta persebaran suara Peta Provinsi Nusa Tenggara Timur yang menyoroti Kabupaten Ngada Bupati & Wakil Bupati petahanaAndreas Paru & Raymundus Bena Bupati & Wakil Bupati terpilih Belum diketahui Pemilihan umum Bupati Ngada 2024 dilaksanakan pada 27 November 2024 untuk memilih Bupati Ngada periode 2024–2029.[1] Pemilihan Bupati Ngada tahun tersebut akan diselenggarakan setelah Pemilihan umum Presiden Indones...

SMS Grille

Aviso of the Prussian and German Imperial Navy For the later aviso, see German aviso Grille. Grille in her original configuration Class overview Operators Prussian Navy Imperial German Navy Preceded byNix class Succeeded bySMS Loreley Completed1 Retired1 History Prussia NameGrille BuilderChantiers et Ateliers Augustin Normand Laid down1856 Launched9 September 1857 Commissioned3 June 1858 Stricken7 January 1920 FateBroken up General characteristics [a] Class and ...

Lega anseatica

Disambiguazione – Hansa rimanda qui. Se stai cercando altri significati, vedi Hansa (disambigua). Disambiguazione – Hanse rimanda qui. Se stai cercando altri significati, vedi Hanse (disambigua). Questa voce o sezione sull'argomento storia è priva o carente di note e riferimenti bibliografici puntuali. Commento: Intere sezioni prive di note Sebbene vi siano una bibliografia e/o dei collegamenti esterni, manca la contestualizzazione delle fonti con note a piè di pag...

Golfe du Morbihan

Pour les articles homonymes, voir Golfe du Morbihan (îles Kerguelen) et Morbihan (homonymie). Golfe du Morbihan Le cromlech d'Er Lannic, dans le golfe du Morbihan. Géographie humaine Pays côtiers France Subdivisionsterritoriales Morbihan Géographie physique Type Golfe Site Ramsar (1991, Golfe du Morbihan) Localisation Dans le nord du golfe de Gascogne, océan Atlantique Coordonnées 47° 36′ nord, 2° 48′ ouest Superficie 115 km2 Longueur 20 km Larg...

Charles W. Pickering

American judge (born 1937) For the naval officer, see Charles W. Pickering (United States Navy officer). This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Charles W. Pickering – news · newspapers · books ...

ألكسندر دوبتشيك

ألكسندر دوبتشيك (بالسلوفاكية: Alexander Dubček)‏ معلومات شخصية الميلاد 27 نوفمبر 1921(1921-11-27) الوفاة 7 نوفمبر 1992 (70 سنة)براغ سبب الوفاة حادث سيارة[1] مواطنة تشيكوسلوفاكيا مناصب عضو الجمعية الاتحادية لتشيكوسلوفاكيا في المنصب28 ديسمبر 1989 – 25 يونيو 1992 ميكال كو...

Алюминий Казахстана

Алюминий Казахстана Тип Акционерное общество Листинг на бирже KASE: ALKZ Основание 5 января 1994 Расположение Казахстан: Павлодар Ключевые фигуры президент — Роман Романовпредшественник — Арман Есенжулов Отрасль металлургия (МСОК: 24)горнодобывающая промышленность (...

Sergey Mikhailov (politician)

Russian politician (born 1965) Sergey MikhailovСергей МихайловRussian Federation Senatorfrom Zabaykalsky KraiIncumbentAssumed office 18 October 2018Preceded byStepan Zhiryakov [ru] Personal detailsBornSergey Petrovich Mikhailov (1965-05-22) 22 May 1965 (age 58)Nerchinsk, Russian SFSR, Soviet UnionPolitical partyUnited Russia Sergey Petrovich Mikhailov (Russian: Сергей Петрович Михайлов; born 22 May 1965) is a Russian politician who is ...

توماس توخل

توماس توخل Thomas Tuchel توخيل مع باريس سان جيرمان في 2019 معلومات شخصية الاسم الكامل توماس توخل الميلاد 29 أغسطس 1973 (العمر 50 سنة)كرومباخ، ألمانيا الغربية الطول 1.90 م (6 قدم 3 بوصة)[1] مركز اللعب مدافع الجنسية ألمانيا مسيرة الشباب سنوات فريق 1970–1988 كرومباخ 1988–1992 أوغسبور�...

US Open 2022 - Singolare ragazze

US Open 2022Singolare ragazzeSport Tennis Vincitore Alex Eala Finalista Lucie Havlíčková Punteggio6-2, 6-4 Tornei Singolare uomini (q) donne (q) ragazzi ragazze Doppio uomini donne misto ragazzi ragazze 2021 2023 Voce principale: US Open 2022. Robin Montgomery era la campionessa in carica, ma non hanno preso parte a questa edizione del torneo. Alex Eala ha conquistato il titolo, battendo in finale Lucie Havlíčková con il punteggio di 6-2, 6-4. Indice 1 Teste di serie 2 Tabellone ...

Lira

500 lira, Italia, 1960 Lira juga adalah nama sebuah kota di Uganda. Lihat Lira, Uganda. Lira adalah nama mata uang beberapa negara, sekaligus bekas mata uang Italia, San Marino, Lebanon dan Vatikan. Istilah ini berasal dari nilai satu berat pon (atau pound) Troy (Latin libra) dari perak murni; di beberapa negara kata lira dan pound digunakan dianggap ekivalen. L, kadang dalam bentuk digaris melintang (₤), biasanya digunakan sebagai simbol Lira. Negara-negara yang menggunakan lira sebagai ma...

Immigration reduction in the United States

Governmental policy and social reform in the United States Editorial cartoon --Los Angeles Times Nov 14 1920 by E W Gale Immigration reduction refers to a government and social policy in the United States that advocates a reduction in the amount of immigration allowed into the country. Steps advocated for reducing the numbers of immigrants include advocating stronger action to prevent illegal entry and illegal migration, and reductions in non-immigrant temporary work visas (such as H-1B, L-1 ...

Philosophy Gang

Philosophy GangAlbum studio karya Harry Roesli GangDirilisJuni 1973[1]GenreProgressive rockDurasi29:01LabelLion Records[2]Kronologi Harry Roesli Gang Philosophy Gang(1973) Titik Api(1976)Titik Api1976 Philosophy Gang adalah album perdana dari grup musik pimpinan Harry Roesli, Harry-Roesli Gang, yang dirilis pada tahun 1973. Walau direkam di Musica Studio's di Jakarta, album ini dirilis oleh Lion Records di Singapura.[3] Pada tahun 2017 album tersebut dirilis ulang ...

/profillengkap.com/index.php/article/Peacehaven

/profillengkap.com/index.php/article/UFO (Pink Lady song)

Akademi Seni dan Ilmu Amerika

Durungbanjar, Candi, Sidoarjo

/artikeldigital.com/index.php/Brenda Lawrence

Karl Mack von Leiberich

Catanduanes

Gandusari, Blitar

Pascual Ortiz Rubio

العلاقات الجزائرية الكوستاريكية

Lulu James

Wacker Neuson