Der Satz von Aoki-Rolewicz ist ein Resultat aus der Funktionalanalysis, welches sagt, dass jede Quasinorm äquivalent zu einer ${\displaystyle p}$-Norm ist. Dies impliziert, dass quasinormierte Räume metrisierbar sind.

Der Satz wurde unabhängig von Tosio Aoki (^[1]) und Stefan Rolewicz (^[2]) bewiesen.

Eine Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ auf einem Vektorraum ${\displaystyle X}$ erfüllt die Dreiecksungleichung

${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|,\;\forall x,y\in X.}$

Ersetzt man dieses Axiom durch

• ${\displaystyle \exists K\geq 1}$, so dass ${\displaystyle \|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|),\;\forall x,y\in X}$, dann erhält man eine Quasinorm. ${\displaystyle K}$ nennt man auch Modulus der Konkavität.
• ${\displaystyle \exists p\in (0,1]}$, so dass ${\displaystyle \|x+y\|^{p}\leq \|x\|^{p}+\|y\|^{p},\;\forall x,y\in X}$, dann erhält man eine ${\displaystyle p}$-Norm.

Sei ${\displaystyle \|\cdot \|}$ eine Quasinorm auf ${\displaystyle X}$ mit Modulus der Konkavität ${\displaystyle K}$, dann existiert eine äquivalente Quasinorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{*}}$, die auch eine ${\displaystyle p}$-Norm ist, wobei ${\displaystyle 2^{1/p-1}=K}$ gilt. Weiter ist

${\displaystyle \|\cdot \|_{*}=\inf \left\{\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{p}\right)^{1/p}\mid x=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\right\}.}$^[3][4][5]

• Miroslav Pavlović: Function Classes on the Unit Disc: An Introduction, Berlin, Boston: De Gruyter, 2014, https://doi.org/10.1515/9783110281903, (Anhang A. Quasi-Banach spaces)
• Wu, Cong & Li, Yongjin.: On the Triangle Inequality in Quasi-Banach Spaces. In: Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. Band 9, 2008. 
• Sylvie Monniaux, Marius Mitrea und Dorina Mitrea: Groupoid Metrization Theory: With Applications to Analysis on Quasi-Metric Spaces and Functional Analysis. Hrsg.: Birkhäuser. Niederlande 2013, S. 4. 
• Sylvie Monniaux, Marius Mitrea und Dorina Mitrea: Groupoid Metrization Theory: With Applications to Analysis on Quasi-Metric Spaces and Functional Analysis. Hrsg.: Birkhäuser. Niederlande 2013, S. 4. 
• Jesús M. F. Castillo und Félix Cabello Sánchez: Homological Methods in Banach Space Theory. Hrsg.: Cambridge University Press. 2023, S. 10. 

1. ↑ T. Aoki, Locally bounded linear topological spaces, Proc. Imp. Acad. Tokyo 18 (1942), 588–594
2. ↑ S. Rolewicz, On a certain class of linear metric spaces, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astrono. Phys., 5 (1957), 471–473
3. ↑ Wu, Cong & Li, Yongjin.: On the Triangle Inequality in Quasi-Banach Spaces. In: Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. Band 9, 2008. 
4. ↑ Sylvie Monniaux, Marius Mitrea und Dorina Mitrea: Groupoid Metrization Theory: With Applications to Analysis on Quasi-Metric Spaces and Functional Analysis. Hrsg.: Birkhäuser. Niederlande 2013, S. 4. 
5. ↑ Jesús M. F. Castillo und Félix Cabello Sánchez: Homological Methods in Banach Space Theory. Hrsg.: Cambridge University Press. 2023, S. 10.