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Rollkurve

Rollkurve ist ein mathematischer Begriff, der bestimmte Arten geometrischer Kurven umfasst. In der älteren Literatur findet man auch die Bezeichnung Roulette.[1] Der Begriff wird nicht einheitlich verwendet.

Rollkurve im engeren Sinn

Zu einer gegebenen Kurve (Leitkurve) wird ein Kreis (Gangkreis) betrachtet, der auf der Leitkurve abrollt, ohne zu gleiten. Die Spur eines Punktes (erzeugender Punkt), der mit dem Gangkreis mitrotiert, ergibt dann eine Rollkurve. In vielen Fällen liegt der erzeugende Punkt auf dem Rand des Gangkreises, er kann sich aber auch im Inneren oder im Äußeren des Gangkreises befinden. Der Kreismittelpunkt wird oft als erzeugender Punkt ausgeschlossen, da dieser Fall meist zu uninteressanten Ergebnissen führt.

Für die verschiedenen Rollkurven gibt es unterschiedliche Bezeichnungen:

Leitkurve Bezeichnungen Grafik
Gerade Trochoide, Spezialfall Zykloide
Ein Punkt auf einem rollenden Kreis zeichnet eine Zykloide
Kreis (Abrollen außen) Epitrochoide, Spezialfall Epizykloide
Epizykloide (rot)
Größerer Kreis (Abrollen innen) Hypotrochoide, Spezialfall Hypozykloide
Hypozykloide (rot)
Kleinerer Kreis (Abrollen mit Innenseite) Peritrochoide, Spezialfall Perizykloide
Perizykloide (rot)

Liegt der die Kurve erzeugende Punkt innerhalb des rollenden Kreises, so nennt man die Rollkurve „verkürzt“ oder „gestreckt“, liegt er außerhalb, „verlängert“ oder „verschlungen“.

Rollkurve im weiteren Sinn

Eine Parabel (grün) rollt auf einer kongruenten Parabel (blau), wobei diese fixiert bleibt. Der erzeugende Punkt ist der Scheitel der abrollenden Parabel und beschreibt die Rollkurve (rot gezeichnet). In diesem Fall ist die Rollkurve die Zissoide des Diokles. Grob gesagt, ist eine Rollkurve die Spur eines Punkts (Generator oder Pol), der an einer gegebenen Kurve befestigt ist, die wiederum auf einer weiteren, fixierten Kurve abrollt, ohne zu gleiten.

Gelegentlich werden auch Rollkurven betrachtet, bei denen eine beliebige Kurve (z. B. ein Kegelschnitt oder auch eine Gerade) auf einer Leitkurve abrollt.

Leitkurve Rollende Kurve Erzeugender Punkt Rollkurve
Beliebige Kurve Gerade Punkt der Gerade Involute der Kurve
Gerade Beliebige Kurve Beliebig Zyklogon
Gerade Kreis Beliebig Trochoide
Gerade Kreis Punkt auf dem Kreis Zykloide
Gerade Ellipse oder Hyperbel Mittelpunkt Sturmsche Roulette[2]
Gerade Kegelschnitt Brennpunkt Delaunaysche Roulette[3]
Gerade Parabel Brennpunkt Kettenlinie[4]
Gerade Ellipse Brennpunkt Elliptische Kettenlinie[4]
Gerade Hyperbel Brennpunkt Hyperbolische Kettenlinie[4]
Gerade Gleichseitige Hyperbel Mittelpunkt Rectangular elastica[5]
Gerade Epitrochoide oder Hypotrochoide Mittelpunkt Ellipse[6]
Kreis Kreis Beliebig Epitrochoide oder Hypotrochoide[7]
Äußeres eines Kreises Kreis Beliebig Epitrochoide
Äußeres eines Kreises Kreis Punkt auf dem Kreis Epizykloide
Äußeres eines Kreises Kreis mit gleichem Radius Beliebig Pascalsche Schnecke (Limaçon)
Äußeres eines Kreises Kreis mit gleichem Radius Punkt auf dem Kreis Kardioide
Äußeres eines Kreises Kreis mit dem halben Radius Punkt auf dem Kreis Nephroide
Inneres eines Kreises Kreis Beliebig Hypotrochoide
Inneres eines Kreises Kreis Punkt auf dem Kreis Hypozykloide
Inneres eines Kreises Kreis mit gedritteltem Radius Punkt auf dem Kreis Deltoide
Inneres eines Kreises Kreis mit gevierteltem Radius Punkt auf dem Kreis Astroide
Parabel Kongruente Parabel Scheitelpunkt Zissoide des Diokles[8]

Einzelnachweise

  1. ↑ Heinrich Wieleitner: Spezielle ebene Kurven. Hrsg.: G. J. Göschen. 1908, S. 169 (archive.org).
  2. ↑ "Sturm's roulette" auf www.mathcurve.com
  3. ↑ "Delaunay's roulette" auf www.mathcurve.com
  4. ↑ a b c "Delaunay's roulette" auf www.2dcurves.com
  5. ↑ Alfred George Greenhill: The applications of elliptic functions. Macmillan, 1892, S. 88 (englisch, archive.org).
  6. ↑ "Roulette with straight fixed curve" auf www.mathcurve.com
  7. ↑ "Centered trochoid" auf mathcurve.com
  8. ↑ "Cissoid" auf www.2dcurves.com

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